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Concept
Groupe de Picard
Résumé
En géométrie algébrique, le groupe de Picard est un groupe associé à une variété algébrique ou plus généralement à un schéma. Il est en général isomorphe au groupe des diviseurs de Cartier. Si K est un corps de nombres, le groupe de Picard de l'anneau des entiers de K n'est autre que le groupe des classes de K. Pour les courbes algébriques et les variétés abéliennes, le groupe de Picard (ou plutôt le foncteur de Picard) permet de construire respectivement la jacobienne et la variété abélienne duale. Cette construction existe pour les variétés projectives lisses en général.
Soit un schéma avec son faisceau structural . Un faisceau inversible sur est un faisceau cohérent localement libre de rang 1. Cela signifie que est un faisceau de -modules, et que tout point de possède un voisinage ouvert tel que soit isomorphe à . Le faisceau dual défini par
pour tout ouvert de est alors aussi un faisceau inversible, et on a un isomorphisme de faisceaux canonique du produit tensoriel avec .
Définition L'ensemble des classes d'isomorphisme des faisceaux inversibles sur est appelé le groupe de Picard de et est noté Pic(). Le produit tensoriel induit une loi de multiplication sur Pic() qui en fait un groupe commutatif. L'élément neutre est la classe de , et l'inverse de la classe de est la classe du dual .
En termes de la cohomologie de Zariski, le groupe de Picard est isomorphe au groupe pour le faisceau des éléments inversibles de . En cohomologie étale ou fppf, le groupe de Picard est isomorphe à où est le faisceau (étale ou fppf) qui à associe .
Si est un morphisme de schémas, l'image réciproque par induit un homomorphisme de groupes de Picard
Lorsque est une variété projective sur un corps, à tout faisceau inversible on peut associer un degré qui est un entier relatif.
Si est une courbe projective lisse géométriquement connexe sur un corps , le groupe Pic correspondant aux faisceaux inversibles de degré 0 est le groupe des points rationnels de la jacobienne de , du moins pour des corps convenables (par exemple algébriquement clos ou fini) ou si a un point rationnel.
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