Quaternions et rotation dans l'espace

Les quaternions unitaires fournissent une notation mathématique commode pour représenter l'orientation et la rotation d'objets en trois dimensions. Comparés aux angles d'Euler, ils sont plus simples à composer et évitent le problème du blocage de cardan. Comparés aux matrices de rotations, ils sont plus stables numériquement et peuvent se révéler plus efficaces. Les quaternions ont été adoptés dans des applications en infographie, robotique, navigation, dynamique moléculaire et en mécanique spatiale des satellites. Une justification rigoureuse des propriétés utilisées dans cette section est donnée par Altmann. Les quaternions unitaires représentent l'espace mathématique des rotations en trois dimensions (autour d’un axe passant par l’origine) de façon relativement simple. On peut comprendre la correspondance entre les rotations et les quaternions en commençant par se faire une idée intuitive de l'espace des rotations lui-même (une présentation plus rigoureuse interpréterait l’ensemble des rotations comme un groupe de Lie, et l’espace associé comme une 3-variété, mais ce niveau d’abstraction est inutile pour les applications pratiques discutées dans cet article). Chaque rotation en trois dimensions consiste à tourner d'un certain angle autour d'un certain axe. Quand l'angle est nul, l'axe n'a pas d'importance, de telle façon qu'une rotation de zéro degré est un simple point dans l'espace des rotations (c'est la rotation identité). Pour un angle petit mais non nul, l'ensemble des rotations possibles est une petite sphère entourant la rotation identité, où chaque point de la sphère représente un axe pointant dans une direction particulière (comparez avec la sphère céleste). Des rotations d'angles de plus en plus grands s'éloignent progressivement de la rotation identité, et nous pouvons nous les représenter comme des sphères concentriques de rayons croissants. En conséquence, au voisinage de la rotation identité, l'espace abstrait des rotations ressemble à l'espace ordinaire en trois dimensions (qui peut également être vu comme un point central entouré de sphères de différents rayons).

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