Élément algébrique

En théorie des corps un élément d'une extension L d'un corps commutatif K est dit algébrique sur K quand il existe un polynôme non nul à coefficients dans K s'annulant sur cet élément. Un élément qui n'est pas algébrique sur K est dit transcendant sur K. Il s'agit d'une généralisation des notions de nombre algébrique et nombre transcendant : un nombre algébrique est un nombre réel ou complexe, un élément de l'extension C du corps Q des rationnels, qui est algébrique sur Q. Ainsi est un réel algébrique sur Q, et le nombre e ou le nombre π sont des réels transcendants sur Q. S'il existe des complexes transcendants sur Q, tout nombre complexe a+bi est algébrique sur le corps R des réels, comme racine de (X - a)2+b2. Tout élément a de K est évidemment algébrique sur K, comme racine du polynôme X - a. Plus généralement Tout élément a d'une extension finie de K est algébrique sur K. En effet une extension finie de K est un espace vectoriel de dimension finie sur K. On a donc une relation de dépendance linéaire sur les puissances successives de a qui fournit un polynôme qui s'annule sur a. On peut caractériser la notion d'élément algébrique ou transcendant en utilisant K[a], le plus petit sous-anneau de L contenant K et a. Les éléments de l'anneau K[a] sont les éléments de L qui s'expriment comme des polynômes en a, c'est-à-dire que K[a] est l'image de l'anneau des polynômes K[X] par le morphisme d'anneaux φ qui à X associe a. Ce morphisme est non injectif si et seulement si un polynôme non nul s'annule sur a. Par ailleurs si a est racine d'un polynôme de K[X], a est racine d'un polynôme irréductible (facteur du précédent) dont K[a] est le corps de rupture. En résumé : l'élément a est transcendant sur K si et seulement si K[a] et K[X] sont isomorphes (l'isomorphisme étant donné par φ) ; l'élément a est algébrique sur K si et seulement si K[a] est un corps. Soit K(a) le plus petit sous-corps de L contenant a (les éléments de K(a) sont les éléments de L qui s'expriment comme des fractions rationnelles en a).