Modus tollens

En logique propositionnelle, le modus tollens (aussi nommé modus tollendo tollens, du Latin : « mode qui, en niant, nie ») est une forme d'argument valide et une règle d'inférence. Celui-ci est une application de la vérité générale selon laquelle, si une proposition est vraie, alors il en est de même pour sa proposition contraposée. Les premiers à décrire explicitement le modus tollens étaient les stoïciens. La règle d'inférence modus tollens est l'inférence selon laquelle « P implique Q » et la négation du conséquent Q entraînent la négation de l'antécédent P. La règle du modus tollens peut être formellement énoncée comme suit : où signifie « P implique Q ». veut dire « il n'est pas vrai que Q » (souvent abrégé « non Q »). Ainsi, chaque fois que « » et « » apparaissent sur la ligne de preuve, alors « » peut être placé sur une ligne subséquente. L'histoire de la règle d'inférence modus tollens remonte à l'antiquité. Le modus tollens est étroitement lié à la règle du modus ponens. Il existe deux formes similaires, mais invalides, d'argumentation : l'affirmation du conséquent et la négation de l'antécédent. La règle du modus tollens peut être écrite en notation séquent : où est un symbole métalogique signifiant que est une conséquence logique de et dans certains systèmes logiques ; ou encore sous forme de tautologie : où et sont des propositions exprimées dans un système formel ; ou en y comprenant les hypothèses : mais puisque la règle ne change pas l'ensemble des hypothèses, ce n'est pas strictement nécessaire. Des réécritures plus complexes concernant le modus tollens sont souvent utilisées, par exemple dans la théorie des ensembles : (« P est un sous-ensemble de Q. x n'est pas dans Q. Par conséquent, x n'est pas dans P. ») Toujours dans la logique des prédicats du premier ordre : (« Pour tout x, si x est P alors x est Q. Il existe un x qui n'est pas Q. Par conséquent, il existe un x qui n'est pas P. ») Strictement parlant ce ne sont pas des exemples du modus tollens, mais ils peuvent être dérivés de celui-ci en utilisant quelques étapes supplémentaires.

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Modus tollens

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