Nombre de Fermat

thumb|Le mathématicien français Pierre de Fermat (1601-1665) étudia les propriétés des nombres portant maintenant son nom. Un nombre de Fermat est un nombre qui peut s'écrire sous la forme 22n + 1, avec n entier naturel. Le n-ième nombre de Fermat, 22n + 1, est noté Fn. Ces nombres doivent leur nom à Pierre de Fermat, qui émit la conjecture que tous ces nombres étaient premiers. Cette conjecture se révéla fausse, F5 étant composé, de même que tous les suivants jusqu'à F32. On ne sait pas si les nombres à partir de F33 sont premiers ou composés. Ainsi, les seuls nombres de Fermat premiers connus sont au nombre de cinq, à savoir les cinq premiers F0, F1, F2, F3 et F4, qui valent respectivement 3, 5, 17, 257 et . Les nombres de Fermat disposent de propriétés intéressantes, en général issues de l'arithmétique modulaire. En particulier, le théorème de Gauss-Wantzel établit un lien entre ces nombres et la construction à la règle et au compas des polygones réguliers : un polygone régulier à n côtés peut être construit à la règle et au compas si et seulement si n est une puissance de 2, ou le produit d'une puissance de 2 et de nombres de Fermat premiers distincts. En 1640, dans une lettre adressée à Bernard Frénicle de Bessy, Pierre de Fermat énonce son petit théorème et commente : Ce théorème lui permet d'étudier les nombres portant maintenant son nom. Dans cette même lettre, il émet la conjecture que ces nombres sont tous premiers mais reconnaît : . Cette hypothèse le fascine ; deux mois plus tard, dans une lettre à Marin Mersenne, il écrit : Il écrit encore à Blaise Pascal : . Dans une lettre à Kenelm Digby, non datée mais envoyée par Digby à John Wallis le , Fermat donne encore sa conjecture comme non démontrée. Toutefois, dans une lettre de 1659 à Pierre de Carcavi, il s'exprime en des termes qui, selon certains auteurs, impliquent qu'il estime avoir trouvé une démonstration. Si Fermat a soumis cette conjecture à ses principaux correspondants, elle est par contre absente des Arithmétiques de Diophante rééditées en 1670, où son fils retranscrivit les quarante-sept autres conjectures qui furent plus tard prouvées.