Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien Charles Hermite.
Produit scalaire#Généralisation aux espaces vectoriels complexesProduit scalaire hermitien
Soit E un espace vectoriel complexe. On dit qu'une application f définie sur E x E dans C est une forme sesquilinéaire à gauche si quels que soient les vecteurs X, Y, Z appartenant à E, et a, b des scalaires :
f est semi-linéaire par rapport à la première variable
et
f est linéaire par rapport à la deuxième variable
Une telle forme est dite hermitienne (ou à symétrie hermitienne) si de plus :
ou, ce qui est équivalent :
Elle est dite hermitienne définie positive si pour tout vecteur .
Un produit scalaire hermitien est une forme hermitienne définie positive.
On appelle espace hermitien tout espace vectoriel E complexe de dimension finie muni d'un produit scalaire hermitien.
Les deux exemples de base d'espaces munis de formes hermitiennes sont , avec
et pour un intervalle ,
avec
(On considère des fonctions à valeurs complexes : en théorie des séries de Fourier, il est plus commode de travailler avec les exponentielles complexes () qu'avec les fonctions réelles sinus et cosinus, ce qui explique l'intervention de la notion de forme hermitienne dans la décomposition spectrale de Fourier.)
Les deux propriétés de base d'un produit scalaire réel subsistent :
l'inégalité de Cauchy-Schwarz ;
est une norme (elle vérifie l'inégalité triangulaire).
Endomorphisme autoadjoint
Un opérateur u d'un espace hermitien E est dit hermitien si :
Les opérateurs hermitiens jouent un rôle important en mécanique quantique, car ils représentent les grandeurs physiques. Les valeurs propres (réelles) représentent les valeurs possibles de la grandeur et les fonctions propres (ou vecteurs) les états associés.
Dans une base orthonormale, notons A la matrice d'un endomorphisme u et notons :
la matrice transconjuguée (la matrice transposée de la matrice conjuguée, ou matrice adjointe) de A.
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En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les vecteurs par une même constante. Ce rapport de dilatation est appelé valeur propre, les vecteurs auxquels il s'applique s'appellent vecteurs propres, réunis en un espace propre.
En algèbre linéaire, une matrice carrée U à coefficients complexes est dite unitaire si elle vérifie les égalités : où la matrice adjointe de U est notée U* (ou U en physique, et plus particulièrement en mécanique quantique) et I désigne la matrice identité. L'ensemble des matrices unitaires de taille n forme le groupe unitaire U(n). Les matrices unitaires carrées à coefficients réels sont les matrices orthogonales.
thumb|upright=1.5 En mathématiques, les matrices sont des tableaux d'éléments (nombres, caractères) qui servent à interpréter en termes calculatoires, et donc opérationnels, les résultats théoriques de l'algèbre linéaire et même de l'algèbre bilinéaire. Toutes les disciplines étudiant des phénomènes linéaires utilisent les matrices. Quant aux phénomènes non linéaires, on en donne souvent des approximations linéaires, comme en optique géométrique avec les approximations de Gauss.
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In this thesis we will present and analyze randomized algorithms for numerical linear algebra problems. An important theme in this thesis is randomized low-rank approximation. In particular, we will study randomized low-rank approximation of matrix functio ...