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Concept
Hermitien
Résumé
Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien Charles Hermite.
Produit scalaire#Généralisation aux espaces vectoriels complexesProduit scalaire hermitien
Soit E un espace vectoriel complexe. On dit qu'une application f définie sur E x E dans C est une forme sesquilinéaire à gauche si quels que soient les vecteurs X, Y, Z appartenant à E, et a, b des scalaires :
f est semi-linéaire par rapport à la première variable
et
f est linéaire par rapport à la deuxième variable
Une telle forme est dite hermitienne (ou à symétrie hermitienne) si de plus :
ou, ce qui est équivalent :
Elle est dite hermitienne définie positive si pour tout vecteur .
Un produit scalaire hermitien est une forme hermitienne définie positive.
On appelle espace hermitien tout espace vectoriel E complexe de dimension finie muni d'un produit scalaire hermitien.
Les deux exemples de base d'espaces munis de formes hermitiennes sont , avec
et pour un intervalle ,
avec
(On considère des fonctions à valeurs complexes : en théorie des séries de Fourier, il est plus commode de travailler avec les exponentielles complexes () qu'avec les fonctions réelles sinus et cosinus, ce qui explique l'intervention de la notion de forme hermitienne dans la décomposition spectrale de Fourier.)
Les deux propriétés de base d'un produit scalaire réel subsistent :
l'inégalité de Cauchy-Schwarz ;
est une norme (elle vérifie l'inégalité triangulaire).
Endomorphisme autoadjoint
Un opérateur u d'un espace hermitien E est dit hermitien si :
Les opérateurs hermitiens jouent un rôle important en mécanique quantique, car ils représentent les grandeurs physiques. Les valeurs propres (réelles) représentent les valeurs possibles de la grandeur et les fonctions propres (ou vecteurs) les états associés.
Dans une base orthonormale, notons A la matrice d'un endomorphisme u et notons :
la matrice transconjuguée (la matrice transposée de la matrice conjuguée, ou matrice adjointe) de A.
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