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Concept
Angle inscrit dans un demi-cercle
Résumé
Le théorème de géométrie qui affirme que l'angle inscrit dans un demi-cercle est droit, est appelé Théorème de Thalès en Allemagne (Satz des Thales) à partir de la toute fin du , puis dans plusieurs pays, mais assez rarement en France où, à partir à peu près de la même époque, le « théorème de Thalès » désigne un théorème tout autre, sur la proportionnalité des segments découpés sur deux droites sécantes par des droites parallèles.
Plus précisément le théorème affirme que si un point d'un cercle est le sommet d'un angle qui recoupe le cercle en deux points diamétralement opposés, alors cet angle est un angle droit. Un autre énoncé, immédiatement équivalent, est qu'un triangle inscrit dans un cercle et dont un côté est un diamètre est un triangle rectangle. C'est un cas particulier du théorème qui lie l'angle inscrit à l'angle au centre, l'angle droit étant la moitié de l'angle plat. La réciproque est la propriété du triangle rectangle inscrit dans un cercle qui affirme qu'un triangle rectangle est inscrit dans un cercle dont un diamètre est l'hypoténuse de ce triangle.
Le théorème (le sens direct) est démontré dans le livre III des Éléments d'Euclide (~ 300 ), à la proposition 31, mais sa démonstration, citée par Aristote, fait manifestement déjà partie de la culture mathématique grecque à l'époque du Stagyrite. Son attribution à Thalès de Milet (autour de 600 ) repose sur un écrit de Diogène Laërce (), qui relate une tradition attribuant le théorème soit à Thalès soit à Pythagore.
Un énoncé possible du théorème est le suivant :
Une démonstration s'appuie d'une part sur une propriété des triangles isocèles, à savoir que si deux côtés sont de même longueurs, deux angles sont de même mesure, d'autre part sur la propriété que la somme des angles d'un triangle égale l'angle plat.
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