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Concept
Tenseur métrique
Résumé
En géométrie, et plus particulièrement en géométrie différentielle, le tenseur métrique est un tenseur d'ordre 2 permettant de définir le produit scalaire de deux vecteurs en chaque point d'un espace, et qui est utilisé pour la mesure des longueurs et des angles. Il généralise le théorème de Pythagore. Dans un système de coordonnées donné, le tenseur métrique peut se représenter comme une matrice symétrique, généralement notée , pour ne pas confondre la matrice (en majuscule) et le tenseur métrique g.
Dans ce qui suit, la convention de sommation d'Einstein est utilisée.
Le tenseur métrique d'un espace vectoriel de dimension finie n est un tenseur covariant de rang 2 (c'est-à-dire une forme bilinéaire) défini sur :
est :
symétrique : ;
non dégénérée : ;
positive : (à l'exception des pseudo-métriques, voir ci-dessous). E, muni de ce tenseur, est alors un espace euclidien.
Plus généralement, le tenseur métrique d'une variété différentielle est la donnée, en chaque point de la variété, d'un tenseur métrique sur l'espace tangent à la variété en ce point. L'attribution d'un tenseur métrique à cette variété fait de celle-ci une variété riemannienne (ou une variété pseudo-riemannienne dans le cas d'une pseudo-métrique).
On note le produit scalaire de deux vecteurs et , où i = 1, ..., n, de la manière suivante :
La notation est conventionnellement utilisée pour les composantes du tenseur métrique. En Relativité Restreinte, puis Générale, le tenseur métrique est noté, par convention gμν où μ et ν sont éléments de l'ensemble {0,1,2,3}
Dans l'espace dual de , la métrique conjuguée à celle de , notée et appelée métrique duale ou métrique inverse (la matrice représentant ses composantes étant l'inverse de celle représentant les composantes de la métrique de ), est un tenseur contravariant. Il respecte l'identité , qui permet de transformer des composantes contravariantes en composantes covariantes et vice versa.
Lorsque n'est pas toujours positif, on peut parler de pseudo-métrique (c'est par exemple le cas de la métrique lorentzienne (encore appelée métrique de Minkowski) de l'espace de Minkowski).
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