L’oscillateur de Van der Pol est un système dynamique à temps continu à un degré de liberté. Il est décrit par une coordonnée x(t) vérifiant une équation différentielle faisant intervenir deux paramètres : une pulsation propre ω et un coefficient de non-linéarité ε. Lorsque ε = 0, cet oscillateur se réduit à un oscillateur harmonique pur.
Il porte le nom de Balthasar van der Pol.
vignette|Ce circuit électronique à base de triode développe un régime d'oscillations forcées régies par l'équation de Van der Pol (les composants passifs sont : une résistance R, un condensateur C et un circuit couplé d'inductance L et de inductance mutuelle M) . Le circuit RLC monté en série est parcouru d'un courant i, et l'anode (ou plaque) de la triode reçoit un courant ia, tandis que la tension aux bornes de la grille de la triode est notée ug. L’oscillateur de Van der Pol est mis en régime forcé par une source de tension alternative Es.
L’oscillateur de Van der Pol a été imaginé par le physicien néerlandais Balthasar van der Pol alors qu'il était employé par les laboratoires Philips. Van der Pol découvrit que ce circuit contenant un tube à vide développait des oscillations stables, qu'il appela « oscillation de relaxation » et que l'on désigne aujourd'hui plutôt comme des cycles limites des circuits électriques. Lorsque ces circuits sont excités à une fréquence proche de celle du cycle limite il se crée un couplage, c'est-à-dire que le signal de commande impose sa fréquence au courant. Van der Pol et son collègue Van der Mark publièrent en 1927 qu'à certaines fréquences de commande, il apparaissait un bruit irrégulier. Ce bruit se déclenchait toujours au voisinage des fréquences naturelles de couplage. Ce fut l'une des premières mises en évidence de l'existence d'un chaos déterministe.
L’équation de Van der Pol a trouvé de nombreuses applications dans les sciences physiques et biologiques. Par exemple, en biologie, Fitzhugh et Nagumo ont développé une version bidimensionnelle de ce système dynamique pour décrire le potentiel d'action des neurones.
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Les systèmes non linéaires sont analysés en vue d'établir des lois de commande. On présente la stabilité au sens de Lyapunov, ainsi que des méthodes de commande géométrique (linéarisation exacte). Div
Dans le domaine des systèmes dynamiques, un cycle limite, ou cycle-limite sur un plan ou une variété bidimensionnelle est une trajectoire fermée dans l'espace des phases, telle qu'au moins une autre trajectoire spirale à l'intérieur lorsque le temps tend vers . Ces comportements s'observent dans certains systèmes non linéaires. Si toutes les trajectoires voisines approchent le cycle limite lorsque t , on parle de cycle limite stable ou attractif. Si en revanche cela se produit lorsque t , on parle de cycle limite instable ou non attractif.
Self-oscillation is the generation and maintenance of a periodic motion by a source of power that lacks any corresponding periodicity. The oscillator itself controls the phase with which the external power acts on it. Self-oscillators are therefore distinct from forced and parametric resonators, in which the power that sustains the motion must be modulated externally. In linear systems, self-oscillation appears as an instability associated with a negative damping term, which causes small perturbations to grow exponentially in amplitude.
Dans l'étude des systèmes dynamiques, un attracteur (ou ensemble-limite) est un ensemble d'états vers lequel un système évolue de façon irréversible en l'absence de perturbations. Constituants de base de la théorie du chaos, au moins cinq types sont définis : ponctuel, quasi périodique, périodique, étrange et spatial. Stephen Smale serait à l'origine du terme attracteur.
A simple mean-field idea is applicable to the pattern dynamics of large assemblies of limit-cycle oscillators with non-local coupling. This is demonstrated by developing a mathematical theory for the
We investigate the propagation of temperature perturbations in an array of coupled nonlinear oscillators at finite temperature. We evaluate the response function at equilibrium and show how the memory