In mathematics, specifically in measure theory, a Borel measure on a topological space is a measure that is defined on all open sets (and thus on all Borel sets). Some authors require additional restrictions on the measure, as described below.
Let be a locally compact Hausdorff space, and let be the smallest σ-algebra that contains the open sets of ; this is known as the σ-algebra of Borel sets. A Borel measure is any measure defined on the σ-algebra of Borel sets. A few authors require in addition that is locally finite, meaning that for every compact set . If a Borel measure is both inner regular and outer regular, it is called a regular Borel measure. If is both inner regular, outer regular, and locally finite, it is called a Radon measure.
The real line with its usual topology is a locally compact Hausdorff space; hence we can define a Borel measure on it. In this case, is the smallest σ-algebra that contains the open intervals of . While there are many Borel measures μ, the choice of Borel measure that assigns for every half-open interval is sometimes called "the" Borel measure on . This measure turns out to be the restriction to the Borel σ-algebra of the Lebesgue measure , which is a complete measure and is defined on the Lebesgue σ-algebra. The Lebesgue σ-algebra is actually the completion of the Borel σ-algebra, which means that it is the smallest σ-algebra that contains all the Borel sets and can be equipped with a complete measure. Also, the Borel measure and the Lebesgue measure coincide on the Borel sets (i.e., for every Borel measurable set, where is the Borel measure described above).
If X and Y are second-countable, Hausdorff topological spaces, then the set of Borel subsets of their product coincides with the product of the sets of Borel subsets of X and Y. That is, the Borel functor
from the of second-countable Hausdorff spaces to the category of measurable spaces preserves finite .
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The course is based on Durrett's text book
Probability: Theory and Examples.
It takes the measure theory approach to probability theory, wherein expectations are simply abstract integrals.
The course introduces the paradigm of quantum computation in an axiomatic way. We introduce the notion of quantum bit, gates, circuits and we treat the most important quantum algorithms. We also touch
En mathématiques, une mesure positive (ou simplement mesure quand il n'y a pas de risque de confusion) est une fonction qui associe une grandeur numérique à certains sous-ensembles d'un ensemble donné. Il s'agit d'un important concept en analyse et en théorie des probabilités. Intuitivement, la mesure d'un ensemble ou sous-ensemble est similaire à la notion de taille, ou de cardinal pour les ensembles discrets. Dans ce sens, la mesure est une généralisation des concepts de longueur, aire ou volume dans des espaces de dimension 1, 2 ou 3 respectivement.
La mesure de Lebesgue est une mesure qui étend le concept intuitif de volume à une très large classe de parties de l'espace. Comme l'a immédiatement perçu son inventeur, Henri Lebesgue, elle permet de bâtir une théorie de l'intégration très performante et fondamentale en analyse moderne : la théorie de l'intégrale de Lebesgue. Plusieurs constructions bien différentes de la mesure de Lebesgue sont connues. Chacune d'entre elles peut naturellement être prise pour définition ; dans le cadre d'un article où il faut toutes les évoquer, il est prudent de fournir en ouverture une définition plus unificatrice.
En mathématiques, l’intégrale de Lebesgue désigne à la fois une théorie relative à l'intégration et à la mesure, et le résultat de l'intégration d'une fonction à valeurs réelles définie sur (ou sur ) muni de la mesure de Lebesgue. Généralisant l'intégrale de Riemann, l'intégrale de Lebesgue joue un rôle important en analyse, en théorie des probabilités et dans beaucoup d'autres domaines des mathématiques. Dans les cas simples, l'intégrale d'une fonction positive f peut être vue comme l'aire comprise entre l'axe des x (l'axe horizontal) et la courbe de la fonction f.
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As large, data-driven artificial intelligence models become ubiquitous, guaranteeing high data quality is imperative for constructing models. Crowdsourcing, community sensing, and data filtering have long been the standard approaches to guaranteeing or imp ...
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We construct a measure on the thick points of a Brownian loop soup in a bounded domain DD of the plane with given intensity theta>0θ>0, which is formally obtained by exponentiating the square root of its occupation field. The measure is construct ...
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Time has always been a central factor in understanding the challenges of daily mobility. For a long time, and still today, methods of economic evaluation of transport projects have monetized time savings so that they can be included in the cost–benefit ana ...