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Concept
Théorème de Rolle
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de Rolle (souvent mentionné sous le nom de lemme de Rolle), en référence à Michel Rolle, est un résultat fondamental concernant la dérivée d'une fonction réelle d'une variable réelle. Il énonce que si une fonction dérivable prend la même valeur en deux points, alors sa dérivée s'annule au moins une fois entre ces deux points.
Le théorème de Rolle s'énonce de la façon suivante :
Le théorème de Rolle ne heurte pas l'intuition :
dire qu'il existe au moins un élément où la dérivée de f est nulle, c'est dire qu'il existe un point où la tangente à la courbe y = f(x) est horizontale ;
dire que la fonction est dérivable sur l'intervalle, c'est dire que sa représentation graphique n'a pas de discontinuités, ni même de points anguleux.
Les hypothèses nous garantissent par le théorème des bornes que la fonction a un minimum et un maximum. Il y a donc bien (au moins) un point c entre a et b tel que f(c) soit un maximum ou un minimum. En un tel point, la tangente à la courbe est horizontale.
Ce théorème permet d'intégrer les propriétés topologiques nécessaires des nombres réels dans l'analyse des fonctions réelles d'une variable réelle.
Les propriétés topologiques sont intégrées à la démonstration à travers le théorème des bornes.
Le théorème de Rolle ne s'étend pas aux fonctions d'une variable réelle à valeurs vectorielles. Ainsi, la fonction dérivable de R dans C définie par f(t) = e satisfait f(0) = f(2π) alors que sa dérivée, f ' (t) = i e, ne s'annule pas.
Ce théorème est utilisé pour la démonstration du théorème des accroissements finis (dont il est un cas particulier, d'où son appellation fréquente de lemme de Rolle) ; ce dernier théorème sert à son tour à construire le développement limité d'une fonction et à établir le théorème de Taylor. C'est la raison pour laquelle le théorème de Rolle est incontournable dans la construction de l'analyse.
Si P est un polynôme réel ayant au moins p racines réelles distinctes, alors son polynôme dérivé a au moins p – 1 racines réelles distinctes.
Source officielle
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