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Concept
Fonction multiplicative
Résumé
En arithmétique, une fonction multiplicative est une fonction arithmétique f : N* → C vérifiant les deux conditions suivantes :
f(1) = 1 ;
pour tous entiers a et b > 0 premiers entre eux, on a : f (ab) = f(a)f(b).
Une fonction complètement multiplicative est une fonction arithmétique g vérifiant :
g(1) = 1 ;
pour tous entiers a et b > 0, on a : g(ab) = g(a)g(b).
Ces dénominations peuvent varier d'un ouvrage à un autre : fonction faiblement multiplicative pour fonction multiplicative, fonction multiplicative ou totalement multiplicative pour fonction complètement multiplicative.
Les fonctions multiplicatives interviennent notamment en théorie analytique des nombres, dans les séries de Dirichlet.
Une fonction multiplicative ƒ est entièrement déterminée par ses valeurs en les puissances non nulles des entiers premiers. En effet, d'après le théorème fondamental de l'arithmétique, tout entier n > 0 admet une décomposition en produit de facteurs premiers, unique à l'ordre près des facteurs :
où les p sont des nombres premiers et les k des entiers naturels, avec (pour assurer l'unicité) : la suite finie des p est strictement croissante et chaque k (appelé la valuation p-adique de n) est non nul.
En appliquant ƒ, il vient :
Il n'existe aucune contrainte supplémentaire : toute suite de nombres complexes indexée par les puissances non nulles des entiers premiers donne, via la formule ci-dessus, une unique fonction multiplicative.
Pour des raisons analogues, une fonction complètement multiplicative g est entièrement déterminée par ses valeurs en les nombres premiers. En reprenant les notations ci-dessus :
Ces considérations prouvent qu'il existe une infinité de fonctions complètement multiplicatives.
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Proximité ontologique