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Concept
Fonction de Möbius
Résumé
En mathématiques, la fonction de Möbius désigne généralement une fonction multiplicative particulière, définie sur les entiers strictement positifs et à valeurs dans l'ensemble {–1, 0, 1}. Elle intervient dans la formule d'inversion de Möbius.
Elle est utilisée dans des branches différentes des mathématiques. Vue sous un angle élémentaire, la fonction de Möbius permet certains calculs de dénombrement, en particulier pour l'étude des p-groupes ou en théorie des graphes. En arithmétique, elle est parfois définie comme l'inverse de la fonction multiplicative constante 1, pour l'opération convolution de Dirichlet. On la trouve encore pour l'étude des polynômes cyclotomiques sur le corps des nombres rationnels. Son rôle est analogue pour les corps finis et, par voie de conséquence, la fonction de Möbius intervient dans la théorie des codes correcteurs. En théorie analytique des nombres, la fonction de Möbius est plus souvent introduite à l'aide des séries de Dirichlet. Elle intervient dans certaines démonstrations liées à l'étude de l'hypothèse de Riemann sur les nombres premiers.
L'usage de cette fonction est ancien : on le trouve chez Euler en 1748 ou encore chez Gauss dans ses Disquisitiones arithmeticae en 1801. C'est néanmoins Möbius qui le premier l'étudie systématiquement, en 1832.
Dans toute la suite de l'article, N désigne l'ensemble des entiers naturels et N* celui des entiers strictement positifs. La définition la plus courante est la suivante :
Le tableau de ses vingt premières valeurs est donc :
et le graphe de ses cinquante premières valeurs est :
Avec cette seconde définition, μ est automatiquement, comme 1, multiplicative, c'est-à-dire que :
Montrons que la fonction μ de la première définition vérifie bien
Si n = 1, le résultat est évident. Si n > 1, soient P l'ensemble des facteurs premiers de n et s = card(P) (≥ 1). Les seuls diviseurs de n dont l'image par μ est non nulle sont ceux sans facteur carré, c'est-à-dire les produits d'éléments distincts de P donc, en utilisant que le nombre de parties de P de cardinal t est égal au coefficient binomial puis en appliquant la formule du binôme :ce qui termine la démonstration.
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