Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Spectre d'un opérateur linéaire
Résumé
En mathématiques, plus précisément en analyse fonctionnelle, le spectre d'un opérateur linéaire sur un espace vectoriel topologique est l'ensemble de ses valeurs spectrales. En dimension finie, cet ensemble se réduit à l'ensemble des valeurs propres de cet endomorphisme, ou de sa matrice dans une base.
En et en mécanique quantique, la notion de spectre s'étend aux opérateurs non bornés fermés.
Soit une algèbre de Banach unifère sur le corps des nombres complexes. Le spectre d'un élément de , noté , est l'ensemble des nombres complexes pour lesquels l'élément n'admet pas d'inverse dans .
Si est un idempotent (c'est-à-dire ) différent de 0 et 1, alors
Si est une fonction entière alors : c'est le théorème de l'application spectrale. La preuve est élémentaire dans deux cas particuliers :
Dans le cas où est l'algèbre , il suffit de trigonaliser la matrice .
Dans le cas où est un polynôme, il suffit, pour un complexe fixé, d'appliquer à le polynôme sous forme factorisée pour voir que équivaut à donc à
valeur spectrale
On définit le spectre d'un opérateur borné sur un espace de Banach complexe X comme son spectre lorsqu'on considère cet opérateur comme étant un élément de l'algèbre de Banach des opérateurs bornés sur X.
Plus explicitement, si on note par l'application identité de , qui est l'élément unité de , alors le spectre de l'opérateur linéaire borné est l'ensemble des nombres complexes pour lesquels l'opérateur n'admet pas d'opérateur inverse borné.
En appliquant le théorème de Liouville (version vectorielle) à sa résolvante, on montre que tout opérateur borné sur un espace de Banach complexe a un spectre non vide (alors qu'il peut n'avoir aucune valeur propre comme, sur l'espace de Hilbert L(R), l'opérateur unitaire U défini par Uf(t) = ef(t) ou l'opérateur hermitien H défini par Hf(t) = f(t)/(1 + |t|) ou encore, sur L([0, 1]), l'opérateur compact de Volterra). C'est donc via cette notion de spectre qu'on généralise le fait que tout endomorphisme d'un espace vectoriel complexe de dimension finie (ou toute matrice carrée à coefficients complexes) admet des valeurs propres.
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.