Analyse de survie

thumb|Exemple de courbe de survie. L'analyse de (la) survie est une branche des statistiques qui cherche à modéliser le temps restant avant la mort pour des organismes biologiques (l'espérance de vie) ou le temps restant avant l'échec ou la panne dans les systèmes artificiels, ce que l'on représente graphiquement sous la forme d'une courbe de survie. On parle aussi d'analyse de la fiabilité en ingénierie, d'analyse de la durée en économie ou d'analyse de l'histoire d'événements en sociologie. La représentation des données de survie se fait souvent sous la forme graphique d'une courbe de survie. Plus généralement, l'analyse de survie implique la modélisation du facteur temps dans la probabilité d'occurrence des événements, notamment grâce à des concepts tels que le taux de défaillance instantané ou la loi de fiabilité d'un système. L'analyse de survie a été généralisée à la modélisation d'événements non pas uniques mais récurrents dans le temps, comme peuvent l'être par exemple les rechutes en cas de maladie, voire à des systèmes plus complexes encore soumis à des risques multiples qui peuvent dépendre les uns des autres, etc. L'analyse de survie repose souvent sur des séries temporelles de données longitudinales. Dans les cas où les événements d'intérêt ne se sont pas produits avant la fin de la période d'observation (par exemple, la maladie n'est pas apparue chez un malade) on parle de censure de la série de données. La première méthode d'analyse de survie, la méthode actuarielle, est apparue en 1912. Elle est utilisée dans le domaine médical pour la première fois en 1950. La seconde méthode, dite de Kaplan-Meier, est apparue en 1958. La fonction de survie ( ), notée S par convention, est définie par : où t est la variable temps, T est une variable aléatoire symbolisant le moment du décès, et est la fonction probabilité. La fonction de survie est égale à la probabilité que le décès intervienne après un temps t donné.

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Loi de Fréchet

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Fréchet est un cas particulier de loi d'extremum généralisée au même titre que la loi de Gumbel ou la loi de Weibull. Le nom de cette loi est dû à Maurice Fréchet, auteur d'un article à ce sujet en 1927. Des travaux ultérieurs ont été réalisés par Ronald Aylmer Fisher et L. H. C. Tippett en 1928 et par Emil Julius Gumbel en 1958. Sa fonction de répartition est donnée par : où est un paramètre de forme.

Loi d'extremum généralisée

En probabilité et statistique, la loi d'extrémum généralisée est une famille de lois de probabilité continues qui servent à représenter des phénomènes de valeurs extrêmes (minimum ou maximum). Elle comprend la loi de Gumbel, la loi de Fréchet et la loi de Weibull, respectivement lois d'extrémum de type I, II et III. Le théorème de Fisher-Tippett-Gnedenko établit que la loi d'extremum généralisée est la distribution limite du maximum (adéquatement normalisé) d'une série de variables aléatoires indépendantes de même distribution (iid).

Loi de Weibull

En théorie des probabilités, la loi de Weibull, nommée d'après Waloddi Weibull en 1951, est une loi de probabilité continue. La loi de Weibull est un cas spécial de loi d'extremum généralisée au même titre que la loi de Gumbel ou la loi de Fréchet. Avec deux paramètres (pour x > 0), la densité de probabilité est : où k > 0 est le paramètre de forme et λ > 0 le paramètre d'échelle de la distribution.

Paramètres d'estimation des VEM MATH-447: Risk, rare events and extremes

Explore les techniques d'estimation des paramètres GEV à l'aide de méthodes graphiques et basées sur la probabilité, illustrées par des exemples du monde réel.

Ajuster les courbes de Gumbel aux données de pluie ENV-221: Hydrology for engineers

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Théorie de la valeur extrême: GEV et GPD FIN-417: Quantitative risk management

Couvre la théorie de la valeur extrême, en se concentrant sur les distributions GEV et GPD et le modèle POT pour les dépassements de seuils.

Statistique mathématique

vignette|Une régression linéaire. Les statistiques, dans le sens populaire du terme, traitent à l'aide des mathématiques l'étude de groupe d'une population. En statistique descriptive, on se contente de décrire un échantillon à partir de grandeurs comme la moyenne, la médiane, l'écart type, la proportion, la corrélation, etc. C'est souvent la technique qui est utilisée dans les recensements. Dans un sens plus large, la théorie statistique est utilisée en recherche dans un but inférentiel.

Régression (statistiques)

En mathématiques, la régression recouvre plusieurs méthodes d’analyse statistique permettant d’approcher une variable à partir d’autres qui lui sont corrélées. Par extension, le terme est aussi utilisé pour certaines méthodes d’ajustement de courbe. En apprentissage automatique, on distingue les problèmes de régression des problèmes de classification. Ainsi, on considère que les problèmes de prédiction d'une variable quantitative sont des problèmes de régression tandis que les problèmes de prédiction d'une variable qualitative sont des problèmes de classification.

Réseau de neurones artificiels

Un réseau de neurones artificiels, ou réseau neuronal artificiel, est un système dont la conception est à l'origine schématiquement inspirée du fonctionnement des neurones biologiques, et qui par la suite s'est rapproché des méthodes statistiques. Les réseaux de neurones sont généralement optimisés par des méthodes d'apprentissage de type probabiliste, en particulier bayésien.