Heyting arithmeticIn mathematical logic, Heyting arithmetic is an axiomatization of arithmetic in accordance with the philosophy of intuitionism. It is named after Arend Heyting, who first proposed it. Heyting arithmetic can be characterized just like the first-order theory of Peano arithmetic , except that it uses the intuitionistic predicate calculus for inference. In particular, this means that the double-negation elimination principle, as well as the principle of the excluded middle , do not hold.
ExtensionalityIn logic, extensionality, or extensional equality, refers to principles that judge objects to be equal if they have the same external properties. It stands in contrast to the concept of intensionality, which is concerned with whether the internal definitions of objects are the same. Consider the two functions f and g mapping from and to natural numbers, defined as follows: To find f(n), first add 5 to n, then multiply by 2. To find g(n), first multiply n by 2, then add 10.
Démonstration constructiveUne première vision d'une démonstration constructive est celle d'une démonstration mathématique qui respecte les contraintes des mathématiques intuitionnistes, c'est-à-dire qui ne fait pas appel à l'infini, ni au principe du tiers exclu. Ainsi, démontrer l'impossibilité de l'inexistence d'un objet ne constitue pas une démonstration constructive de son existence : il faut pour cela en exhiber un et expliquer comment le construire. Si une démonstration est constructive, on doit pouvoir lui associer un algorithme.
Fonction partiellevignette|Exemple d'une fonction partielle En mathématiques, une fonction partielle (quelquefois appelée simplement fonction) sur un ensemble donné E est une application définie sur une partie de celui-ci, appelé ensemble de définition (ou domaine de définition) de la fonction partielle.
Analyse constructiveL'analyse constructive est une branche des mathématiques constructives. Elle critique l'analyse mathématique classique et vise à fonder l'analyse sur des principes constructifs. Elle s'inscrit dans le courant de pensée constructiviste ou intuitionniste, dont les principaux membres ont été Kronecker, Brouwer ou Weyl. La critique porte sur la façon dont est utilisée la notion d'existence, de disjonction et sur l'utilisation du raisonnement par l'absurde.
Construction des nombres réelsEn mathématiques, il existe différentes constructions des nombres réels, dont les deux plus connues sont : les coupures de Dedekind, qui définissent, via la théorie des ensembles, un réel comme l'ensemble des rationnels qui lui sont strictement inférieurs ; les suites de Cauchy, qui définissent, via l'analyse, un réel comme une suite de rationnels convergeant vers lui. C'est à partir des années 1860 que la nécessité de présenter une construction des nombres réels se fait de plus en plus pressante, dans le but d'asseoir l'analyse sur des fondements rigoureux.
Mathématiques classiquesEn fondements des mathématiques, les mathématiques classiques se réfèrent généralement à l'approche traditionnelle des mathématiques, qui est basée sur la logique classique et la théorie des ensembles ZFC. Il s'oppose à d'autres types de mathématiques tels que les mathématiques constructives ou les mathématiques prédicatives. En pratique, les systèmes non-classiques les plus courants sont utilisés en mathématiques constructives.
Categorical logicNOTOC Categorical logic is the branch of mathematics in which tools and concepts from are applied to the study of mathematical logic. It is also notable for its connections to theoretical computer science. In broad terms, categorical logic represents both syntax and semantics by a , and an interpretation by a functor. The categorical framework provides a rich conceptual background for logical and type-theoretic constructions. The subject has been recognisable in these terms since around 1970.
Module de convergenceEn analyse réelle un module de convergence est une fonction qui indique à quelle vitesse une séquence convergente converge. Ces modules sont souvent employés dans l'étude de l'analyse calculable et des mathématiques constructives. Si une suite de nombres réels (xi) converge vers un nombre réel x, alors par définition, pour tout réel il existe un entier naturel N tel que si i > N alors . Un module de convergence est une fonction qui, étant donné ε, renvoie une valeur correspondante de N.
Axiome du choix dépendantEn mathématiques, l'axiome du choix dépendant, noté DC, est une forme faible de l'axiome du choix (AC), suffisante pour développer une majeure partie de l'analyse réelle. Il a été introduit par Bernays. L'axiome peut s'énoncer comme suit : pour tout ensemble non vide X, et pour toute relation binaire R sur X, si l'ensemble de définition de R est X tout entier (c'est-à-dire si pour tout a∈X, il existe au moins un b∈X tel que aRb) alors il existe une suite (xn) d'éléments de X telle que pour tout n∈N, xnRxn+1.
