En mathématiques, un carré parfait (ou nombre carré s'il est non nul, voire simplement carré s'il n'y a pas ambiguïté) est le carré d'un entier. Dans le système de numération décimal, le chiffre des unités d'un carré parfait ne peut être que 0, 1, 4, 5, 6 ou 9. En base douze, ces chiffres sont nécessairement 0, 1, 4 ou 9. Un carré parfait est le carré d'un entier naturel. Un nombre carré est un nombre polygonal (donc entier strictement positif) qui peut être représenté géométriquement par un carré de n × n points. Les nombres carrés sont donc les carrés parfaits non nuls, le n-ième étant n. Les carrés parfaits sont : On considère a et b des entiers naturels non nuls. Si a et b sont des carrés parfaits, alors le produit ab est aussi un carré. Si a2 + b2 = c2 où c est un entier, alors (a, b, c) forme un triplet pythagoricien. Par exemple, (3, 4, 5) en constitue un. a est un carré parfait si, et seulement si, tous les exposants dans sa décomposition en produit de facteurs premiers sont pairs. Si ab est un carré parfait et que a et b sont premiers entre eux, alors a et b sont aussi des carrés parfaits : ne pas oublier la seconde condition car 12×3 = 62 mais 12 n'est pas un carré parfait. a(a + 1) et a(a + 2) ne sont pas des carrés. a est un carré parfait si, et seulement si le nombre de ses diviseurs est impair. Un carré parfait ne peut se terminer que par 0, 1, 4, 5, 6 ou 9 dans le système décimal. La représentation du premier nombre carré est un point. Celle du n-ième s'obtient en bordant deux côtés consécutifs du carré précédent par 2n – 1 points. File:Square_number_4_with_gnomon.svg|1 + 3 = 2{{2}} = 4 File:Square_number_9_with_gnomon.svg|4 + 5 = 3{{2}} = 9 File:Square_number_16_with_gnomon.svg|9 + 7 = 4{{2}} File:Square number 16 as sum of gnomons.

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Nombre triangulaire
droite|vignette|upright=1.3|Représentation figurée des quatre premiers nombres triangulaires. vignette|upright=1.3|Le septième nombre triangulaire est 28. En arithmétique, un nombre triangulaire est un cas particulier de nombre polygonal. Il correspond à un entier naturel non nul égal au nombre de pastilles dans un triangle construit à la manière des deux figures de droite. La seconde montre que le septième nombre triangulaire — celui dont le côté porte 7 pastilles — est 28.
Carré
En géométrie euclidienne, un carré est un quadrilatère convexe à quatre côtés de même longueur avec quatre angles droits. C’est donc un polygone régulier, qui est à la fois un losange, un rectangle, et par conséquent aussi un parallélogramme particulier. Dans le plan, un carré est invariant par quatre symétries axiales, par deux rotations d’angle droit et par une symétrie centrale par rapport à l’intersection de ses diagonales. Les premières représentations du carré datent de la préhistoire.
Carré (algèbre)
En arithmétique et en algèbre, le carré est une opération consistant à multiplier un élément par lui-même. La notion s’applique d’abord aux nombres, et en particulier aux entiers naturels, pour lesquels le carré est figuré par une disposition en carré au sens géométrique du terme. Un nombre qui peut s’écrire comme le carré d’un entier est appelé carré parfait. Mais plus généralement, on parle du carré d’une fonction, d’une matrice, ou de tout type d’objet mathématique pour lequel il existe une opération notée multiplicativement, comme la composition des endomorphismes ou le produit cartésien.
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