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Concept
Carré parfait
Résumé
En mathématiques, un carré parfait (ou nombre carré s'il est non nul, voire simplement carré s'il n'y a pas ambiguïté) est le carré d'un entier. Dans le système de numération décimal, le chiffre des unités d'un carré parfait ne peut être que 0, 1, 4, 5, 6 ou 9. En base douze, ces chiffres sont nécessairement 0, 1, 4 ou 9.
Un carré parfait est le carré d'un entier naturel.
Un nombre carré est un nombre polygonal (donc entier strictement positif) qui peut être représenté géométriquement par un carré de n × n points. Les nombres carrés sont donc les carrés parfaits non nuls, le n-ième étant n.
Les carrés parfaits sont :
On considère a et b des entiers naturels non nuls.
Si a et b sont des carrés parfaits, alors le produit ab est aussi un carré.
Si a2 + b2 = c2 où c est un entier, alors (a, b, c) forme un triplet pythagoricien. Par exemple, (3, 4, 5) en constitue un.
a est un carré parfait si, et seulement si, tous les exposants dans sa décomposition en produit de facteurs premiers sont pairs.
Si ab est un carré parfait et que a et b sont premiers entre eux, alors a et b sont aussi des carrés parfaits : ne pas oublier la seconde condition car 12×3 = 62 mais 12 n'est pas un carré parfait.
a(a + 1) et a(a + 2) ne sont pas des carrés.
a est un carré parfait si, et seulement si le nombre de ses diviseurs est impair.
Un carré parfait ne peut se terminer que par 0, 1, 4, 5, 6 ou 9 dans le système décimal.
La représentation du premier nombre carré est un point. Celle du n-ième s'obtient en bordant deux côtés consécutifs du carré précédent par 2n – 1 points.
File:Square_number_4_with_gnomon.svg|1 + 3 = 2{{2}} = 4
File:Square_number_9_with_gnomon.svg|4 + 5 = 3{{2}} = 9
File:Square_number_16_with_gnomon.svg|9 + 7 = 4{{2}}
File:Square number 16 as sum of gnomons.
Source officielle
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