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Concept
Carré (algèbre)
Résumé
En arithmétique et en algèbre, le carré est une opération consistant à multiplier un élément par lui-même. La notion s’applique d’abord aux nombres, et en particulier aux entiers naturels, pour lesquels le carré est figuré par une disposition en carré au sens géométrique du terme. Un nombre qui peut s’écrire comme le carré d’un entier est appelé carré parfait. Mais plus généralement, on parle du carré d’une fonction, d’une matrice, ou de tout type d’objet mathématique pour lequel il existe une opération notée multiplicativement, comme la composition des endomorphismes ou le produit cartésien.
Cette opération apparait dans les identités remarquables, permet de définir la fonction carré et les équations du second degré, et intervient de façon fondamentale dans le théorème de Pythagore et de nombreux autres résultats de toutes les branches des mathématiques. En algèbre géométrique, elle définit la mesure de l’aire d'un carré en fonction de la longueur de son côté.
En informatique, le calcul du carré permet de simplifier le calculs des autres puissances par exponentiation rapide.
En physique, le carré apparait dans de nombreuses formules comme pour la cinétique de la chute libre ou la relation d’Einstein E = mc2.
Le carré est défini pour tout nombre n comme le résultat de la multiplication de ce nombre par lui-même, et on le note avec un chiffre 2 en exposant : n = n × n.
Les carrés des premiers entiers naturels, appelés carrés parfaits ou nombres carrés, apparaissent sur la diagonale principale de la table de multiplication.
Le carré d’un nombre a la même valeur que le carré de son opposé en vertu de la règle des signes. Mais les conventions sur l’ordre de priorité des opérations font qu’un signe moins (−) (associé par exemple à la notation d’un entier relatif) ne sera pas pris en compte dans le carré en l’absence de parenthèses. De la même manière, toute expression composée avec au moins un opérateur (somme, produit, fraction...) doit être encadrée par des délimiteurs (parenthèses ou crochets) avant d’être notée au carré.
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