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Concept
Interpolation newtonienne
Résumé
En analyse numérique, l'interpolation newtonienne, du nom d'Isaac Newton, est une méthode d'interpolation polynomiale permettant d'obtenir le polynôme de Lagrange comme combinaison linéaire de polynômes de la « base newtonienne ».
Contrairement à l'interpolation d'Hermite par exemple, cette méthode ne diffère de l'interpolation lagrangienne que par la façon dont le polynôme est calculé, le polynôme d'interpolation qui en résulte est le même. Pour cette raison on parle aussi plutôt de la forme de Newton du polynôme de Lagrange.
Étant donnés points
(les xj tous distincts 2 à 2), l'interpolation polynomiale dans une base de Newton est une combinaison linéaire de polynômes appartenant à cette base
avec les polynômes de Newton définis de la manière suivante
(en particulier , le produit vide)
et les coefficients égaux aux différences divisées :
En résumé :
Le théorème suivant justifie le nom de « polynôme d'interpolation » pour :
Le polynôme d'interpolation de Lagrange appartient à l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à , dont la « base de Newton » définie ci-dessus est une base. D'après le théorème d'interpolation de Newton, les coordonnées de dans sont , où les sont les différences divisées. Une méthode naïve de calcul direct des coordonnées de dans serait de résoudre le système d'équations linéaires
qui se réécrit
Puisque ce système est échelonné et même triangulaire inférieur, on pourrait le résoudre de proche en proche en commençant par la ligne qui nous donnerait puis pour , le calcul de nous permettrait de déduire , et ainsi de suite jusqu'à .
Comme le montre la définition des différences divisées, des points supplémentaires peuvent être ajoutés pour créer un nouveau polynôme d'interpolation sans recalculer les coefficients. De plus, si un point est modifié, il est inutile de recalculer l'ensemble des coefficients. Autre avantage, si les xi sont équirépartis, le calcul des différences divisées devient nettement plus rapide.
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