Les processus de naissance et de mort sont des cas particuliers de processus de Markov en temps continu où les transitions d'état sont de deux types seulement : les «naissances» où l'état passe de n à n+1 et les morts où l'état passe de n à n-1. Ces processus ont de nombreuses applications en dynamique des populations et dans la . Le processus est spécifié par les taux de naissance et les taux de mortalité . On suppose que . Si est la probabilité de trouver le système dans l'état (avec ) à l'instant , alors Autrement dit, où est le générateur défini par Si plus généralement on note la probabilité d'être dans l'état à l'instant sachant que le système était dans l'état à l'instant , alors et (la matrice identité). Le processus de Yule correspond à et . Le processus linéaire de naissance et de mort correspond à et . La correspond à pour et pour . Supposons que pour tout . Le processus de naissance et de mort a une durée de vie infinie si et seulement si est infini. Par exemple, le processus de Yule a une durée de vie infinie car la série harmonique diverge. On définit une suite de polynômes telle que et . Autrement dit, et pour tout . Ces polynômes sont orthogonaux par rapport à une mesure de probabilité sur l'intervalle et Cette formule est due à Karlin et McGregor. Si et pour tout (file d'attente M/M/), alors où les sont les polynômes de Charlier. Les polynômes sont orthogonaux par rapport à la distribution de Poisson qui attribue le poids sur les entiers Si et avec , alors il faut distinguer trois cas. 1er cas : Si , alors où les sont les polynômes de Meixner. Ainsi, les polynômes sont orthogonaux par rapport à la distribution de probabilités qui attribue le poids aux points pour 2e cas : Si , alors Les polynômes sont orthogonaux par rapport à la distribution de probabilités qui attribue le poids aux points pour 3e cas : Si , alors où les sont des polynômes de Laguerre généralisés. Les polynômes sont orthogonaux par rapport à la distribution de probabilités sur de densité donnée par la distribution Gamma : Lorsque , l'état 0 est absorbant.

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