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Concept
Processus de naissance et de mort
Résumé
Les processus de naissance et de mort sont des cas particuliers de processus de Markov en temps continu où les transitions d'état sont de deux types seulement : les «naissances» où l'état passe de n à n+1 et les morts où l'état passe de n à n-1.
Ces processus ont de nombreuses applications en dynamique des populations et dans la . Le processus est spécifié par les taux de naissance et les taux de mortalité .
On suppose que . Si est la probabilité de trouver le système dans l'état (avec ) à l'instant , alors
Autrement dit,
où est le générateur défini par
Si plus généralement on note la probabilité d'être dans l'état à l'instant sachant que le système était dans l'état à l'instant , alors
et (la matrice identité).
Le processus de Yule correspond à et .
Le processus linéaire de naissance et de mort correspond à et .
La correspond à pour et pour .
Supposons que pour tout . Le processus de naissance et de mort a une durée de vie infinie si et seulement si
est infini.
Par exemple, le processus de Yule a une durée de vie infinie car la série harmonique diverge.
On définit une suite de polynômes telle que et . Autrement dit,
et
pour tout . Ces polynômes sont orthogonaux par rapport à une mesure de probabilité sur l'intervalle et
Cette formule est due à Karlin et McGregor.
Si et pour tout (file d'attente M/M/), alors où les sont les polynômes de Charlier. Les polynômes sont orthogonaux par rapport à la distribution de Poisson qui attribue le poids sur les entiers
Si et avec , alors il faut distinguer trois cas.
1er cas : Si , alors
où les sont les polynômes de Meixner. Ainsi, les polynômes sont orthogonaux par rapport à la distribution de probabilités qui attribue le poids
aux points pour
2e cas : Si , alors
Les polynômes sont orthogonaux par rapport à la distribution de probabilités qui attribue le poids
aux points pour
3e cas : Si , alors
où les sont des polynômes de Laguerre généralisés. Les polynômes sont orthogonaux par rapport à la distribution de probabilités sur de densité donnée par la distribution Gamma :
Lorsque , l'état 0 est absorbant.
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