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Concept
Tenseur symétrique
Résumé
Un tenseur d'ordre 2 est dit symétrique si la forme bilinéaire associée est symétrique.
Un tenseur d'ordre 2 étant défini par rapport à un certain espace vectoriel, on peut y choisir des vecteurs de base et le tenseur est alors représenté par une matrice de composantes . Une définition équivalente à la précédente consiste à dire que la matrice est symétrique, c'est-à-dire que :
pour tout couple d'indices i et j,
car cette propriété reste inchangée si l'on change de base.
La symétrie d'un tenseur n'est une caractéristique intéressante que si ses composantes sont réelles. Plusieurs tenseurs symétriques de dimension 3 sont utilisés en physique, notamment le tenseur des contraintes et le tenseur des déformations en science des matériaux, et le tenseur d'inertie en mécanique du solide.
Si l'on passe d'une base à une autre , la matrice colonne des composantes d'un vecteur est remplacée par la matrice colonne définie par où désigne la matrice de passage.
Soit la forme bilinéaire associée au tenseur :
où :
est donc la matrice qui représente le tenseur dans la nouvelle base.
Quand les deux bases sont orthonormées, la matrice de passage est orthogonale : .
Le vecteur est un vecteur propre du tenseur s'il est non nul et qu'il vérifie . Le scalaire est appelé valeur propre (de ).
Si l'on a choisi une base, le vecteur est représenté par une matrice colonne et le tenseur par une matrice (carrée) . Au sens de l'algèbre matricielle, est un vecteur propre de , pour la même valeur propre . Ce résultat est valable quelle que soit la base. On peut montrer que le polynôme caractéristique de la matrice , où représente la matrice identité, ne dépend pas de la base.
La particularité des tenseurs symétriques est que :
toutes les valeurs propres d'un tenseur symétrique sont réelles ;
deux vecteurs propres correspondant à deux valeurs propres distinctes sont perpendiculaires (orthogonaux) ;
on peut former une base orthonormée de vecteurs propres ; dans cette base le tenseur est représenté par une matrice diagonale (avec les valeurs propres sur la diagonale).
Source officielle
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