Algèbre multilinéaire

En mathématiques, l’algèbre multilinéaire étend les méthodes de l’algèbre linéaire. Tout comme l’algèbre linéaire est bâtie sur le concept de vecteur et développe la théorie des espaces vectoriels, l’algèbre multilinéaire est bâtie sur le concept de tenseur et développe la théorie des espaces tensoriels. Dans les applications, de nombreux types de tenseurs surviennent. La théorie se veut exhaustive et comprend l'étude d'un certain nombre d'espaces et l'exposé de leurs relations. L'algèbre multilinéaire a des racines variées plongeant dans ce qui a été appelé au l’analyse tensorielle ou le « calcul tensoriel des champs tensoriels ». Elle s’est développée à partir de l’utilisation des tenseurs en géométrie différentielle, en relativité générale, et dans de nombreuses branches des mathématiques appliquées. Vers le milieu du , l’étude des tenseurs est reformulée plus abstraitement. Le traité d’algèbre multilinéaire du groupe Bourbaki (le chapitre 3 du livre d'Algèbre, intitulé plus précisément Algèbres tensorielles, algèbres extérieures, algèbres symétriques) est particulièrement influent. Une des raisons de cette nouvelle formulation est une nouvelle aire d’application, l’algèbre homologique. Le développement de la topologie algébrique durant les années 1940 donne une incitation additionnelle au développement d’un traitement purement algébrique du produit tensoriel. Le calcul des groupes homologiques du produit de deux espaces topologiques utilise le produit tensoriel ; mais c'est seulement dans les cas les plus simples, tel que celui d’un tore, que les groupes homologiques peuvent être calculés directement de cette façon (voir le théorème de Künneth). Les phénomènes topologiques, assez subtils, sont à la source d’une nouvelle réflexion sur les concepts fondamentaux du calcul tensoriel. Le matériel à organiser est dense, incluant des idées remontant à Hermann Günther Grassmann, et des idées venant de la théorie des formes différentielles qui avaient mené à la cohomologie de De Rham, ainsi qu’à des notions plus élémentaires telles que le produit extérieur qui généralise le produit vectoriel.