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Concept
Lemme de Gauss (polynômes)
Résumé
En mathématiques, le lemme de Gauss originel énonce que si un polynôme à coefficients entiers est produit de deux polynômes unitaires à coefficients rationnels, ceux-ci sont en fait nécessairement à coefficients entiers.
Sa version moderne en est une double généralisation, remplaçant l'anneau des entiers par un anneau factoriel A, et stipulant que le produit de deux polynômes primitifs ( à coefficients premiers entre eux) est primitif. Elle permet de démontrer la factorialité de l'anneau A[X].
Le lemme originel apparaît dans les Disquisitiones arithmeticae de Gauss, à l'article 42, sous la forme contraposée suivante :
Harold Edwards remarque que cette version historique a l'avantage, par rapport à la ci-dessous, de se prêter à une , dans laquelle les entiers usuels sont remplacés par les entiers algébriques, et les nombres rationnels par les nombres algébriques. Richard Dedekind a redécouvert (dix ans après Leopold Kronecker) une version encore plus générale (il l'avait dans un premier temps formulée seulement pour les entiers usuels) :
La version de Kronecker était en réalité bien plus générique :
De plus, en se passant (comme le théorème de Prague) de l'hypothèse « polynômes unitaires », elle englobait aussi la version moderne ci-dessous :
Anneau factoriel
Pour exprimer la version moderne du lemme de Gauss, on a besoin de deux notions : celle de polynôme primitif et celle de contenu d'un polynôme :
La version moderne du lemme de Gauss est alors, selon les auteurs, l'un ou l'autre des deux théorèmes équivalents suivants, ou les deux, énoncés le plus souvent seulement pour un anneau factoriel A.
Plus précisément, pour tout anneau intègre A :
si A est à PGCD alors il vérifie le lemme de Gauss usuel : si a divise bc et si a est premier avec b, alors a divise c ;
s'il vérifie ce lemme alors il vérifie la propriété « PP » (primalité avec un produit) : si a est premier avec b et c alors il est premier avec bc ;
PP équivaut au point 1 ci-dessus (donc aussi au point 2 lorsque A est à PGCD) ;
les deux implications élémentaires « à PGCD ⇒ Gauss usuel » et « Gauss usuel ⇒ PP » sont strictes.
Source officielle
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