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Concept
Factorisation des polynômes
Résumé
En mathématiques, la factorisation d'un polynôme consiste à écrire celui-ci comme produit de polynômes. Les factorisations intéressantes sont celles permettant d'écrire le polynôme initial en produit de plusieurs polynômes non inversibles. Un polynôme non inversible pour lequel aucune factorisation de ce type n'existe s'appelle un polynôme irréductible.
La décomposition d'un polynôme en produits de polynômes irréductibles existe, et a une propriété d'unicité (à un facteur inversible près), pour tout polynôme à coefficients réels ou complexes. Ceci est encore vrai lorsque les coefficients sont dans un anneau factoriel, que le polynôme soit à une ou plusieurs indéterminées. Cette propriété est, pour l'ensemble des polynômes, analogue au théorème fondamental de l'arithmétique pour l'ensemble des entiers.
La recherche d'une factorisation est un problème algorithmique de difficulté variable suivant, en premier lieu, l'anneau de coefficients considéré, et en second lieu, la taille de ces coefficients et le degré du polynôme.
La factorisation d'un polynôme est utile pour décomposer une fraction rationnelle en somme d'éléments simples.
Les identités remarquables et la propriété de distributivité de la multiplication sur l'addition fournissent des méthodes élémentaires de factorisation de polynômes
Exemples
La première des factorisations ne décompose pas le polynôme en produit de polynômes de degré moindre. Cependant, elle offre l'avantage de présenter un polynôme dont le coefficient du terme de plus haut degré est 1. De tels polynômes sont dits unitaires et sont utilisés dans les décompositions pour garantir l'unicité de celles-ci.
La dernière factorisation offre un moyen de prouver que tout polynôme P possédant r comme racine peut s'écrire
où Q est de degré inférieur au degré de P.
Cependant, en pratique, quand une racine r est connue, la factorisation précédente se calcule plutôt en utilisant une division de polynôme ou la méthode de Horner.
Sur tout corps, les polynômes irréductibles sont les polynômes qui ne peuvent pas se décomposer en produit de deux polynômes non constants.
Source officielle
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