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Concept
Critère d'Eisenstein
Résumé
En mathématiques, le « critère d'Eisenstein », publié auparavant par Theodor Schönemann, donne des conditions suffisantes pour qu'un polynôme à coefficients entiers soit irréductible sur le corps des nombres rationnels.
Considérons un polynôme P(X) à coefficients entiers, que l'on note
Supposons qu'il existe un nombre premier p tel que :
p divise ;
p ne divise pas a ;
p ne divise pas a.
Alors P(X) est irréductible dans l'anneau des polynômes à coefficients rationnels.
Si de plus P(X) est primitif (par exemple s'il est unitaire) alors, d'après le lemme de Gauss, P(X) est irréductible dans l'anneau des polynômes à coefficients entiers.
avec c élément non nul du corps fini F.
Raisonnons par l'absurde et supposons que P = P(X) se factorise en P = QR, où Q et R sont des polynômes de de degrés non nuls. D'après le lemme de Gauss, on peut supposer que Q et R sont à coefficients entiers. En réduisant modulo p, on voit que Q mod p et R mod p sont nécessairement des monômes dXexp|k et eXexp|n–k, où de = c. En particulier, Q(0) et R(0) sont divisibles par p, donc a = Q(0)R(0) est divisible par p, ce qui est une contradiction. Donc P est irréductible dans .
Considérons le polynôme
Nous examinons différents cas pour les valeurs de p suivantes :
p = 2. 2 ne divise pas 15, on ne peut pas conclure ;
p = 3. 3 ne divise pas 10, on ne peut pas conclure ;
p = 5. 5 divise 15, le coefficient de X, et 10 le coefficient constant. 5 ne divise pas 3, le coefficient dominant. En outre, 25 = 52 ne divise pas 10. Ainsi, nous concluons grâce au critère d'Eisenstein que P(X) est irréductible.
Dans certains cas, le choix du nombre premier peut ne pas être évident, mais peut être facilité par un changement de variable de la forme Y = X + a, appelé translation. Par exemple, considérons le polynôme cyclotomique d'indice un entier premier p, c’est-à-dire le polynôme
Ce polynôme satisfait le critère d'Eisenstein, dans une nouvelle variable Y après une translation X = Y + 1.
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