Quadrilatère bicentrique

vignette|Porisme de Poncelet pour les quadrilatères bicentriques ABCD et EFGH. En géométrie euclidienne, un quadrilatère bicentrique est un quadrilatère convexe possédant à la fois un cercle inscrit (tangent à ses quatre côtés) et un cercle circonscrit (passant par ses quatre sommets). Il découle de cette définition que les quadrilatères bicentriques ont les propriétés des quadrilatères circonscriptibles et celles des quadrilatères inscriptibles. Les autres appellations de ces quadrilatères sont "quadrilatères tangents à la corde" et "quadrilatères inscrits et circonscrits". Ils sont aussi plus rarement appelés quadrilatères à double cercle ou quadrilatères à double inscription. Si deux cercles, l'un dans l'autre, sont le cercle inscrit et le cercle circonscrit d'un quadrilatère bicentrique, alors chaque point du cercle circonscrit est le sommet d'un quadrilatère bicentrique ayant le même cercle inscrit et le même cercle circonscrit. Il s'agit d'un cas particulier du porisme de Poncelet, qui a été démontré par le mathématicien français Jean-Victor Poncelet (1788-1867). droite|vignette| Un cerf-volant droit. Des exemples de quadrilatères bicentriques sont donnés par les carrés (cas où les deux centres sont confondus), les cerfs-volants droits et les trapèzes circonscriptibles isocèles. vignette| Un quadrilatère bicentrique ABCD et son quadrilatère de contact WXYZ Un quadrilatère convexe ABCD de côtés a, b, c, d est bicentrique si et seulement si ses côtés opposés vérifient le théorème de Pitot pour les quadrilatères circonscriptibles et la propriété des quadrilatères inscriptible d'avoir des angles opposés supplémentaires ; soit, Trois autres caractérisations concernent les points de contact du cercle inscrit avec les côtés. Si le cercle inscrit du quadrilatère circonscriptible ABCD est tangent aux côtés en W, X, Y, Z respectivement, alors ABCD est également inscriptible si et seulement si l'une des trois conditions suivantes est réalisée : WY est perpendiculaire à XZ (Théorème de Mowaffaq Hajja).

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vignette|300x300px| Un quadrilatère circonscriptible avec son cercle inscrit En géométrie euclidienne, un quadrilatère circonscriptible (ou quadrilatère tangentiel) est un quadrilatère convexe pour lequel il existe un cercle inscrit, c'est-à-dire un cercle situé à l'intérieur du quadrilatère et tangent à chacun de ses quatre côtés. On dit alors que le quadrilatère circonscrit son cercle inscrit. Un quadrilatère circonscriptible est un cas particulier de polygone circonscriptible.

droite|vignette| Cerf-volant droit avec ses cercles circonscrit inscrit. vignette|Quadrilatère circonscriptible divisé en quatre cerfs-volants droits. En géométrie euclidienne, un cerf-volant droit est un cerf-volant (quadrilatère dont les quatre côtés peuvent être regroupés en deux paires de côtés adjacents de même longueur) ayant deux angles droits opposés. Une condition équivalent est qu'il soit inscrit dans un cercle.

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