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Concept
Quadrilatère bicentrique
Résumé
vignette|Porisme de Poncelet pour les quadrilatères bicentriques ABCD et EFGH.
En géométrie euclidienne, un quadrilatère bicentrique est un quadrilatère convexe possédant à la fois un cercle inscrit (tangent à ses quatre côtés) et un cercle circonscrit (passant par ses quatre sommets). Il découle de cette définition que les quadrilatères bicentriques ont les propriétés des quadrilatères circonscriptibles et celles des quadrilatères inscriptibles. Les autres appellations de ces quadrilatères sont "quadrilatères tangents à la corde" et "quadrilatères inscrits et circonscrits". Ils sont aussi plus rarement appelés quadrilatères à double cercle ou quadrilatères à double inscription.
Si deux cercles, l'un dans l'autre, sont le cercle inscrit et le cercle circonscrit d'un quadrilatère bicentrique, alors chaque point du cercle circonscrit est le sommet d'un quadrilatère bicentrique ayant le même cercle inscrit et le même cercle circonscrit. Il s'agit d'un cas particulier du porisme de Poncelet, qui a été démontré par le mathématicien français Jean-Victor Poncelet (1788-1867).
droite|vignette| Un cerf-volant droit.
Des exemples de quadrilatères bicentriques sont donnés par les carrés (cas où les deux centres sont confondus), les cerfs-volants droits et les trapèzes circonscriptibles isocèles.
vignette| Un quadrilatère bicentrique ABCD et son quadrilatère de contact WXYZ
Un quadrilatère convexe ABCD de côtés a, b, c, d est bicentrique si et seulement si ses côtés opposés vérifient le théorème de Pitot pour les quadrilatères circonscriptibles et la propriété des quadrilatères inscriptible d'avoir des angles opposés supplémentaires ; soit,
Trois autres caractérisations concernent les points de contact du cercle inscrit avec les côtés. Si le cercle inscrit du quadrilatère circonscriptible ABCD est tangent aux côtés en W, X, Y, Z respectivement, alors ABCD est également inscriptible si et seulement si l'une des trois conditions suivantes est réalisée :
WY est perpendiculaire à XZ
(Théorème de Mowaffaq Hajja).
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