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Concept
Stabilité numérique
Résumé
En analyse numérique, une branche des mathématiques, la stabilité numérique est une propriété globale d’un algorithme numérique, une qualité nécessaire pour espérer obtenir des résultats ayant du sens.
Une définition rigoureuse de la stabilité dépend du contexte. Elle se réfère à la propagation des erreurs au cours des étapes du calcul, à la capacité de l’algorithme de ne pas trop amplifier d’éventuels écarts, à la précision des résultats obtenus.
Le concept de stabilité ne se limite pas aux erreurs d’arrondis et à leurs conséquences. Les algorithmiques dédiés à la résolution d’équations différentielles ou d’équations aux dérivées partielles (en particulier la méthode des différences finies et la méthode des éléments finis) se basent sur une discrétisation ou un maillage de l’espace (et du temps) ; dans ce cas, la stabilité se réfère à un comportement numérique robuste lorsque le pas de discrétisation ou la taille des mailles tend vers 0.
Un algorithme instable peut être qualifié d’inutilisable car les résultats générés peuvent être totalement altérés.
Une des tâches de l'analyse numérique est de rechercher des algorithmes dont la stabilité est garantie.
Le plus souvent, un calcul peut être conduit de plusieurs manières qui sont algébriquement équivalentes ; dans la pratique toutefois, les résultats différent car les stabilités respectives ne sont pas les mêmes. Un cas classique est la Méthode de Ruffini-Horner pour l’évaluation d’un polynôme, en comparaison avec la méthode naïve et peu efficace consistant à évaluer chaque monôme pour les sommer.
Les méthodes classiques de résolution d’un système linéaire (élimination de Gauss-Jordan, décomposition LU, factorisation de Cholesky pour les matrices définies positives) sont stables.
Cependant, pour de grands systèmes linéaires, l’imprécision des nombreuses opérations de calculs élémentaires séquentiels de ces méthodes peut conduire à des erreurs significatives sur la solution obtenue.
Si le résultat de satisfait où est jugé trop important, il faudra déterminer une correction satisfaisant afin de poser .
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