Racine d'un nombre

Résumé

En mathématiques, une racine n-ième d'un nombre a est un nombre b tel que b = a, où n est un entier naturel non nul. Selon que l'on travaille dans l'ensemble des réels positifs, l'ensemble des réels ou l'ensemble des complexes, le nombre de racines n-ièmes d'un nombre peut être 0, 1, 2 ou n. Pour un nombre réel a positif, il existe un unique réel b positif tel que b = a. Ce réel est appelé la racine n-ième de a (ou racine n-ième principale de a) et se note avec le symbole radical () ou a. La racine la plus connue est la racine carrée d'un réel. Cette définition se généralise pour a négatif et b négatif à condition que n soit impair. Le terme de racine d'un nombre ne doit pas être confondu avec celui de racine d'un polynôme qui désigne la (ou les) valeur(s) où le polynôme s'annule. Racine d'un réel Racine carrée Racine carrée Pour tout réel r strictement positif, l'équation x = r admet deux solutions réelles opposées, et lorsque r = 0, l'équation x = 0 adm

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_d'un_nombre

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A note on coloring line arrangements

János Pach, Rom Pinchasi

We show that the lines of every arrangement of n lines in the plane can be colored with O(root n/log n) colors such that no face of the arrangement is monochromatic. This improves a bound of Bose et al. by a circle minus(root/log n) factor. Any further improvement on this bound would also improve the best known lower bound on the following problem of Erdos: estimate the maximum number of points in general position within a set of n points containing no four collinear points.

Electronic Journal Of Combinatorics2014

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Bisector Energy and Few Distinct Distances

Frank de Zeeuw

We define the bisector energy E(P) of a set P in R-2 to be the number of quadruples (a, b, c, d) is an element of P-4 such that a, b determine the same perpendicular bisector as c, d. Equivalently, E(P) is the number of isosceles trapezoids determined by P. We prove that for any epsilon > 0, if an n-point set P has no M(n) points on a line or circle, then we have E(P) = O(M(n)(2/5) n(12/5+epsilon) + M(n)n(2)). We derive the lower bound E(P) = Omega(M(n)n(2)), matching our upper bound when M(n) is large. We use our upper bound on E(P) to obtain two rather different results: (i) If P determines O(n/root log n) distinct distances, then for any 0 < alpha

Springer2016

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A hybrid on-chip optomechanical transducer for ultrasensitive force measurements

Emanuel Gavartin, Tobias Kippenberg

Nanoscale mechanical oscillators(1) are used as ultrasensitive detectors of force(2), mass(3) and charge(4). Nanomechanical oscillators have also been coupled with optical and electronic resonators to explore the quantum properties of mechanical systems(5). Here, we report an optomechanical transducer in which a Si3N4 nanomechanical beam(6,7) is coupled to a disk-shaped optical resonator made of silica on a single chip. We demonstrate a force sensitivity of 74 aN Hz(-1/2) at room temperature with a readout stability better than 1% at the minute scale. Our system is particularly suited for the detection of very weak incoherent forces, which is difficult with existing approaches because the force resolution scales with the fourth root of the averaging time(8). By applying dissipative feedback(9) based on radiation pressure, we significantly relax this constraint and are able to detect an incoherent force with a force spectral density of just 15 aN Hz(-1/2) (which is 25 times less than the thermal noise) within 35 s of averaging time (which is 30 times less than the averaging time that would be needed in the absence of feedback). It is envisaged that our hybrid on-chip transducer could improve the performance of various forms of force microscopy(8,10-12).

Nature Publishing Group2012

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