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Concept
Fonction génératrice des probabilités
Résumé
En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des probabilités, la fonction génératrice des probabilités (ou fonction génératrice des moments factoriels) d'une variable aléatoire (à valeurs dans les entiers naturels) est la série entière associée à la fonction de masse de cette variable aléatoire. La fonction génératrice des probabilités est utile car elle permet de caractériser entièrement la fonction de masse. La fonction génératrice des probabilités est usuellement identifiée à sa somme.
Soit X une variable aléatoire entière et positive, la fonction génératrice des probabilités de X est la série entière
où est la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur k. La fonction génératrice des probabilités sera souvent confondue avec sa somme lorsque celle-ci converge.
Si est le rayon de convergence de la série entière, alors on remarque que la fonction existe et est finie sur l'ensemble (avec pour convention que 0 = 1) et donc
Si R est fini alors cette dernière égalité peut encore être vraie pour ou .
Les coefficients de la série entière étant des probabilités, R est supérieur ou égal à 1. En effet, pour la série est uniformément convergente puisque et que .
Si R est strictement supérieur à 1 alors G est développable en série entière au voisinage de 1 (car la somme d'une série entière est développable en série entière dans son disque ouvert de convergence), de plus X admet des moments factoriels de tout ordre finis et au voisinage de 1 on a
où désigne le k-ième moment factoriel de X.
G est toujours définie en et de plus on a et .
admet une espérance finie si et seulement si la dérivée à gauche de G est définie en ; le cas échéant on a
admet une variance finie , et donc une espérance finie , si et seulement si la dérivée à gauche d'ordre de G est définie en ; le cas échéant on a
Plus généralement, X admet un moment factoriel d'ordre k fini si et seulement si la dérivée à gauche d'ordre k de G est définie en ; le cas échéant on a
Deux variables aléatoires à valeurs dans admettent la même fonction génératrice des probabilités si et seulement si elles ont la même loi de probabilité.
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