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Concept
Produit (catégorie)
Résumé
Dans une catégorie, le produit d'une famille d'objets est sa limite, lorsqu'elle existe. Il est donc caractérisé par une propriété universelle ou de manière équivalente comme foncteur représentable.
Soit une catégorie et une famille d'objets de . On cherche un couple , où X soit un objet de et une famille de morphismes , tel que pour tout objet Y de et pour toute famille de morphismes , il existe un unique morphisme tel que pour tout indice i, on ait .
Si un tel couple existe, on dit que c'est un produit des . On dit aussi, moins rigoureusement, que X est un produit des . Les morphismes sont appelés les projections canoniques et les morphismes les composantes de .
Étant donné une catégorie et une famille d'objets de , les couples , où Y est un objet de et une famille de morphismes , sont les objets d'une catégorie , les morphismes (selon ) de l'objet vers l'objet étant les morphismes (selon ) f de Y dans Y' tels que, pour tout i, (le morphisme identité de dans la catégorie étant le morphisme identité de Y dans la catégorie ). La définition du produit revient alors à dire qu'un produit de la famille d'objets de est un objet final de la catégorie . Comme deux objets finaux d'une catégorie sont isomorphes dans cette catégorie, deux produits et d'une même famille d'objets de sont toujours isomorphes dans , donc, a fortiori, les «produits» X et X' sont isomorphes dans . Réciproquement, si X et X' sont deux objets isomorphes de , si X est un «produit» d'une famille d'objets de , alors X' est lui aussi un «produit» de cette famille. Tout ceci montre que le produit est défini à isomorphisme près.
Dans toute catégorie, le produit des , lorsqu'il existe, représente le foncteur qui à un objet Y de C associe le produit cartésien .
La somme est la propriété duale du produit : la somme correspond au produit de la catégorie duale.
Dans la catégorie des ensembles, le produit d'une famille d'ensembles est leur produit cartésien, muni des projections respectives.
Le produit indexé par l'ensemble vide est l'objet final.
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Proximité ontologique