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Concept
Principia Mathematica
Résumé
Les Principia Mathematica sont une œuvre en trois volumes d'Alfred North Whitehead et Bertrand Russell, publiés en 1910-1913. Cette œuvre a pour sujet les fondements des mathématiques. Avec en particulier l'idéographie de Gottlob Frege, c'est un ouvrage fondamental, dans la mesure où il participe de façon décisive à la naissance de la logique moderne.
Entre 1898 et 1903, Whitehead travaille à l'édition d'un deuxième volume de son . Il se rend compte que son approche est similaire à celle que choisit Russell dans le deuxième volume des Principles of Mathematics, ouvrage lui aussi en projet. Ils décident donc de ne pas publier leurs travaux personnels et de travailler ensemble.
Après près de dix ans, ils soumettent leurs travaux pour publication à la Cambridge University Press. Cette dernière estimant perdre 600 £, dont 300 qu'elle accepte de prendre en charge, et la Royal Society accordant 200 £, Russell et Whitehead doivent apporter chacun une contribution personnelle de 50 £ .
Les Principia englobent la théorie des ensembles, avec les nombres cardinaux et ordinaux, ainsi que les nombres réels. Des théorèmes plus avancés de l'analyse réelle n'ont pas été inclus. Un quatrième volume était initialement prévu, mais n'a jamais été réalisé.Ils utilisent une notation logique développée par Peano, bien qu’elle ait été réadaptée, dans l'optique de rendre le contenu du livre plus clair, et plus concis.
Plusieurs centaines de pages précèdent la preuve de cette proposition très célèbre de mathématiques, qui peut être trouvée à la page 379 du Volume I de la .
Dans son langage mathématique, la section en question se propose de démontrer que « si deux ensembles α et β n'ont qu'un seul élément (respectivement x et y), alors dire qu'ils n'ont pas d'élément en commun (x est différent de y) est équivalent à dire que leur réunion contient deux éléments (x et y). »
La preuve que 1 + 1 = 2 est véritablement complétée dans le Volume II (), à la page 86, accompagné du commentaire (). Ils poursuivent en disant .
Source officielle
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Logique
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Théorie des ensembles
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Gottlob Frege
Gottlob Frege (), de son nom complet Friedrich Ludwig Gottlob Frege, né le à Wismar et mort le à Bad Kleinen, est un mathématicien, logicien et philosophe allemand, créateur de la logique moderne et plus précisément du calcul propositionnel moderne : le calcul des prédicats. Il est en outre considéré comme l'un des plus importants représentants du logicisme. C'est à la suite de son ouvrage Les Fondements de l'arithmétique, où il tente de dériver l'arithmétique de la logique, que Russell lui a fait parvenir le paradoxe qui porte son nom.