En mathématiques, le théorème de Green, ou théorème de Green-Riemann, donne la relation entre une intégrale curviligne le long d'une courbe simple fermée orientée C par morceaux et l'intégrale double sur la région du plan délimitée par cette courbe.
Ce théorème, nommé d'après George Green et Bernhard Riemann, est un cas particulier du théorème de Stokes.
thumb|upright=0.9|Domaine délimité par une courbe régulière par morceaux.
Vu comme cas particulier du théorème de Stokes, le théorème s'écrit sous la forme suivante, en notant ∂D la courbe C et ω la forme différentielle. Alors, la dérivée extérieure de ω s'écrit :
et le théorème de Green se résume par :
Le cercle sur l'intégrale précise que le bord ∂D est une courbe fermée (orientée). Changer l'orientation de la courbe change le signe de l'intégrale curviligne. L'orientation du bord ∂D se fait intuitivement de telle façon qu'un point le parcourant doit avoir le domaine D constamment sur sa gauche.
On peut aussi interpréter comme la circulation du champ de vecteurs défini sur un ouvert du plan contenant D.
thumb|Théorème de Green-Riemann dans un cas simplifié.
Montrons que en supposant que le domaine D peut être décrit par :
où f et g sont des fonctions de classe C sur [a, b] qui coïncident en a et b.
Le théorème de Fubini donne :
Or , de sorte que :
Or l'arc orienté peut être décomposé en deux sous-arcs :
où t croît de a à b
et
où t décroît de b à a.
L'intégrale curviligne est donc :
qui est bien l'expression obtenue ci-dessus.
On montre de même que en supposant que le domaine D peut être décrit comme étant :
où φ et ψ sont des fonctions de classe C sur [c, d] qui coïncident en c et d :
Le théorème de Green permet notamment de démontrer l'inégalité de Poincaré, ainsi que le théorème intégral de Cauchy pour les fonctions holomorphes.
L'utilisation du théorème de Green permet de calculer l'aire délimitée par une courbe paramétrée fermée. Cette méthode est concrètement appliquée dans les planimètres.
Soit D un domaine du plan auquel le théorème de Green s'applique et soit C = ∂D sa frontière, orientée positivement par rapport à D.
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.
Discrete mathematics is a discipline with applications to almost all areas of study. It provides a set of indispensable tools to computer science in particular. This course reviews (familiar) topics a
This is an introductory course on Elliptic Partial Differential Equations. The course will cover the theory of both classical and generalized (weak) solutions of elliptic PDEs.
Learn the basis of Lebesgue integration and Fourier analysis
Séances de cours associées (998)
Le contenu de ce cours correspond à celui du cours d'Analyse I, comme il est enseigné pour les étudiantes et les étudiants de l'EPFL pendant leur premier semestre. Chaque chapitre du cours correspond
Concepts de base de l'analyse réelle et introduction aux nombres réels.
Stokes' theorem, also known as the Kelvin–Stokes theorem after Lord Kelvin and George Stokes, the fundamental theorem for curls or simply the curl theorem, is a theorem in vector calculus on . Given a vector field, the theorem relates the integral of the curl of the vector field over some surface, to the line integral of the vector field around the boundary of the surface. The classical theorem of Stokes can be stated in one sentence: The line integral of a vector field over a loop is equal to the flux of its curl through the enclosed surface.
En géométrie classique, un plan est une surface plate illimitée, munie de notions d’alignement, d’angle et de distance, et dans laquelle peuvent s’inscrire des points, droites, cercles et autres figures planes usuelles. Il sert ainsi de cadre à la géométrie plane, et en particulier à la trigonométrie lorsqu’il est muni d’une orientation, et permet de représenter l’ensemble des nombres complexes. Un plan peut aussi se concevoir comme partie d’un espace tridimensionnel euclidien, dans lequel il permet de définir les sections planes d’un solide ou d’une autre surface.
En mathématiques, le théorème de Green, ou théorème de Green-Riemann, donne la relation entre une intégrale curviligne le long d'une courbe simple fermée orientée C par morceaux et l'intégrale double sur la région du plan délimitée par cette courbe. Ce théorème, nommé d'après George Green et Bernhard Riemann, est un cas particulier du théorème de Stokes. thumb|upright=0.9|Domaine délimité par une courbe régulière par morceaux. Vu comme cas particulier du théorème de Stokes, le théorème s'écrit sous la forme suivante, en notant ∂D la courbe C et ω la forme différentielle.