Rank of an abelian group

In mathematics, the rank, Prüfer rank, or torsion-free rank of an abelian group A is the cardinality of a maximal linearly independent subset. The rank of A determines the size of the largest free abelian group contained in A. If A is torsion-free then it embeds into a vector space over the rational numbers of dimension rank A. For finitely generated abelian groups, rank is a strong invariant and every such group is determined up to isomorphism by its rank and torsion subgroup. Torsion-free abelian groups of rank 1 have been completely classified. However, the theory of abelian groups of higher rank is more involved. The term rank has a different meaning in the context of elementary abelian groups. A subset {aα} of an abelian group A is linearly independent (over Z) if the only linear combination of these elements that is equal to zero is trivial: if where all but finitely many coefficients nα are zero (so that the sum is, in effect, finite), then all coefficients are zero. Any two maximal linearly independent sets in A have the same cardinality, which is called the rank of A. The rank of an abelian group is analogous to the dimension of a vector space. The main difference with the case of vector space is a presence of torsion. An element of an abelian group A is classified as torsion if its order is finite. The set of all torsion elements is a subgroup, called the torsion subgroup and denoted T(A). A group is called torsion-free if it has no non-trivial torsion elements. The factor-group A/T(A) is the unique maximal torsion-free quotient of A and its rank coincides with the rank of A. The notion of rank with analogous properties can be defined for modules over any integral domain, the case of abelian groups corresponding to modules over Z. For this, see finitely generated module#Generic rank. The rank of an abelian group A coincides with the dimension of the Q-vector space A ⊗ Q. If A is torsion-free then the canonical map A → A ⊗ Q is injective and the rank of A is the minimum dimension of Q-vector space containing A as an abelian subgroup.

À propos de ce résultat

Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.

Publications associées (24)

Personnes associées (4)

Unités associées (3)

Concepts associés (12)

Cours associés (1)

Séances de cours associées (32)

MATH-211: Group Theory

Après une introduction à la théorie des catégories, nous appliquerons la théorie générale au cas particulier des groupes, ce qui nous permettra de bien mettre en perspective des notions telles que quo

Torsion (algèbre)

En algèbre, dans un groupe, un élément est dit de torsion s'il est d'ordre fini, c'est-à-dire si l'une de ses puissances non nulle est l'élément neutre. La torsion d'un groupe est l'ensemble de ses éléments de torsion. Un groupe est dit sans torsion si sa torsion ne contient que le neutre, c'est-à-dire si tout élément différent du neutre est d'ordre infini. Si le groupe est abélien, sa torsion est un sous-groupe. Par exemple, le sous-groupe de torsion du groupe abélien est .

Torsion subgroup

In the theory of abelian groups, the torsion subgroup AT of an abelian group A is the subgroup of A consisting of all elements that have finite order (the torsion elements of A). An abelian group A is called a torsion group (or periodic group) if every element of A has finite order and is called torsion-free if every element of A except the identity is of infinite order. The proof that AT is closed under the group operation relies on the commutativity of the operation (see examples section).

Groupe abélien libre

En mathématiques, un groupe abélien libre est un groupe abélien qui possède une base, c'est-à-dire une partie B telle que tout élément du groupe s'écrive de façon unique comme combinaison linéaire à coefficients entiers (relatifs) d'éléments de B. Comme les espaces vectoriels, les groupes abéliens libres sont classifiés (à isomorphisme près) par leur rang, défini comme le cardinal d'une base, et tout sous-groupe d'un groupe abélien libre est lui-même abélien libre.

Moments of the number of points in a bounded set for number field lattices

Maryna Viazovska, Nihar Prakash Gargava, Vlad Serban

We examine the moments of the number of lattice points in a fixed ball of volume

V

for lattices in Euclidean space which are modules over the ring of integers of a number field

K

. In particular, denoting by

ω_K

the number of roots of unity in

K

, we ...

arXiv2023

Generic direct summands of tensor products for simple algebraic groups and quantum groups at roots of unity

Jonathan Gruber

Let G be either a simple linear algebraic group over an algebraically closed field of characteristic l>0 or a quantum group at an l-th root of unity. The category Rep(G) of finite-dimensional G-modules is non-semisimple. In this thesis, we develop new tech ...

EPFL2022

Multiplicity-free representations of algebraic groups II

Donna Testerman, Martin W. Liebeck

We continue our work, started in [9], on the program of classifying triples (X, Y, V), where X, Yare simple algebraic groups over an algebraically closed field of characteristic zero with X < Y, and Vis an irreducible module for Y such that the restriction ...

ACADEMIC PRESS INC ELSEVIER SCIENCE2022

A Lemma: Introduction aux groupes d'homologie MATH-323: Topology III - Homology

Introduit le concept de groupes d'homologie et se concentre sur un lemma sur les groupes d'abélien libres.

Groupes abéliens libres : théorie des groupes MATH-211: Group Theory

Explore le concept de groupes abéliens libres en tant que foncteur adjoint gauche important.

Endomorphismes et automorphismes des groupes compacts locaux totalement déconnectés V

Explore les endomorphismes et les automorphismes de groupes compacts locaux totalement déconnectés, mettant l'accent sur les homomorphismes surjectifs et les groupes abeliens libres.