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Concept
Groupe abélien libre
Résumé
En mathématiques, un groupe abélien libre est un groupe abélien qui possède une base, c'est-à-dire une partie B telle que tout élément du groupe s'écrive de façon unique comme combinaison linéaire à coefficients entiers (relatifs) d'éléments de B.
Comme les espaces vectoriels, les groupes abéliens libres sont classifiés (à isomorphisme près) par leur rang, défini comme le cardinal d'une base, et tout sous-groupe d'un groupe abélien libre est lui-même abélien libre. Tout groupe abélien est donc isomorphe au quotient d'un groupe abélien libre par un sous-groupe abélien libre.
Le groupe G = Z⊕Z ≃ Z×Z, somme directe de deux copies du groupe cyclique infini Z, est abélien libre de rang 2, de base B = {e1,e2} avec e1 = (1, 0) et e2 = (0, 1), puisque tout élément de G s'écrit de manière unique sous la forme (n, m) = ne + me.
Aucun groupe abélien fini non réduit au neutre n'est abélien libre, d'après la propriété 5 ci-dessous (pour d'autres contre-exemples cf. propriétés 5 et 6).
Contrairement aux espaces vectoriels, les groupes abéliens n'ont pas tous une base, c'est pourquoi l'on réserve à ceux qui en ont une le qualificatif supplémentaire de « libres ».
Ce qualificatif de « libre » peut prêter à confusion. L'expression « groupe abélien libre » est à prendre globalement, et ne signifie pas du tout « groupe qui est à la fois un groupe abélien et un groupe libre » . Les seuls groupes libres qui soient abéliens sont (à isomorphisme près) le groupe trivial déjà mentionné et le groupe cyclique infini Z.
Pour tout ensemble B, il existe un groupe abélien libre de base B, unique à isomorphisme près : le groupe des applications de B dans Z à support fini, nulles sur un sous-ensemble cofini de B. Il est isomorphe à une somme directe d'autant de copies de Z qu'il y a d'éléments dans B.
Un groupe abélien libre G de base B vérifie la propriété universelle suivante, qui le caractérise (à isomorphisme près) parmi les groupes abéliens : pour toute application f de B dans un groupe abélien A, il existe un unique morphisme de groupes de G dans A qui prolonge f.
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