Concept

Groupe abélien libre

Résumé
En mathématiques, un groupe abélien libre est un groupe abélien qui possède une base, c'est-à-dire une partie B telle que tout élément du groupe s'écrive de façon unique comme combinaison linéaire à coefficients entiers (relatifs) d'éléments de B. Comme les espaces vectoriels, les groupes abéliens libres sont classifiés (à isomorphisme près) par leur rang, défini comme le cardinal d'une base, et tout sous-groupe d'un groupe abélien libre est lui-même abélien libre. Tout groupe abélien est donc isomorphe au quotient d'un groupe abélien libre par un sous-groupe abélien libre. Exemple et contre-exemple *Le groupe G = ℤ⊕ℤ ≃ ℤ×ℤ, somme directe de deux copies du groupe cyclique infini ℤ, est abélien libre de rang 2, de base B = {e1,e2} avec e1 = (1, 0) et e2 = (0, 1), puisque tout élément de G s'écrit de manière unique sous la forme (n, m) = ne + me. *Aucun groupe abélien fini non réduit au neutre n'est abélien libre, d'après la propriété 5 ci-dessous (pour d'autres contre-ex
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