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Concept
Conjectures de Weil
Résumé
En mathématiques, les conjectures de Weil, qui sont devenues des théorèmes en 1974, ont été des propositions très influentes à la fin des années 1940 énoncées par André Weil sur les fonctions génératrices (connues sous le nom de fonctions zêta locales) déduites du décompte de nombre de points des variétés algébriques sur les corps finis.
Une variété sur « le » corps à q éléments possède un nombre fini de points sur le corps lui-même, et sur chacune de ses extensions finies. La fonction zêta locale possède des coefficients dérivés des nombres N de points sur le corps à q éléments.
Weil conjectura que ces fonctions zêta devaient être des fonctions rationnelles, devaient satisfaire une forme d'équation fonctionnelle, et devaient avoir leurs zéros dans des endroits restreints. Les deux dernières parties étaient tout à fait consciemment modélisées sur la fonction zêta de Riemann et l'hypothèse de Riemann.
En fait, le cas des courbes sur les corps finis a été démontré par Weil lui-même, achevant le projet démarré par le théorème de Hasse sur les courbes elliptiques sur les corps finis. Les conjectures étaient suffisamment naturelles dans une direction, simplement en proposant que les bonnes propriétés connues seraient étendues. Leur intérêt était suffisamment évident dans la théorie des nombres : elles impliquaient l'existence d'un mécanisme qui fournirait les limites supérieures pour les sommes exponentielles, un élément de base dans la théorie analytique des nombres.
Ce qui était réellement attirant, à partir du point de vue d'autres domaines mathématiques, était la connexion proposée avec la topologie algébrique. Étant donné que les corps finis sont discrets par nature, et que la topologie parle seulement du continu, la formulation détaillée de Weil (basée sur l'élaboration de quelques exemples) était frappante et novatrice. Il suggérait que la géométrie sur les corps finis devait s'ajuster à des motifs bien connus se reliant aux nombres de Betti, au théorème du point fixe de Lefschetz, etc.
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