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Concept
Loi de réciprocité quadratique
Résumé
En mathématiques, en particulier en théorie des nombres, la loi de réciprocité quadratique, établit des liens entre les nombres premiers ; plus précisément, elle décrit la possibilité d'exprimer un nombre premier comme un carré modulo un autre nombre premier. Conjecturée par Euler et reformulée par Legendre, elle a été correctement démontrée pour la première fois par Gauss en 1801.
Elle permet de résoudre les deux problèmes de base de la théorie des résidus quadratiques :
étant donné un nombre premier p, déterminer, parmi les entiers, lesquels sont des carrés modulo p et lesquels n'en sont pas ;
étant donné un entier n, déterminer, parmi les nombres premiers, modulo lesquels n est un carré et modulo lesquels il n'en est pas un.
Elle est considérée comme un des théorèmes les plus importants de la théorie des nombres, et a de nombreuses généralisations.
L'énoncé complet de Gauss comporte trois assertions : le « théorème fondamental » pour deux nombres premiers impairs et deux « lois complémentaires ».
Il faut toutefois observer que si la première loi complémentaire est effectivement une loi de réciprocité, la seconde loi complémentaire ne l'est pas ; en effet, avec la notation de Legendre définie ci-dessous, la première loi complémentaire équivaut bien à
c'est-à-dire que –1 se comporte effectivement comme un nombre premier vis-à-vis de la loi de réciprocité quadratique.
Il n'en est pas de même du nombre 2, dont la résiduité modulo p est simplement caractérisée par seconde loi complémentaire : la loi de réciprocité est essentiellement un théorème concernant les nombres impairs en général, et c'est de fait à ces nombres qu'elle se généralise par le symbole de Jacobi, puis par celui de Kronecker.
Théorème fondamental
Étant donnés deux nombres premiers impairs distincts p et q :
si p ou q est congru à 1 modulo 4, alors p est un carré modulo q si et seulement si q est un carré modulo p.
si p et q sont congrus à 3 modulo 4, alors p est un carré modulo q si et seulement si q n'est pas un carré modulo p.
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