Concept

Symbole de Legendre

Résumé
En théorie des nombres, le symbole de Legendre est une fonction de deux variables entières à valeurs dans {–1, 0, 1}, qui caractérise les résidus quadratiques. Il a été introduit par Adrien-Marie Legendre, au cours de ses efforts pour démontrer la loi de réciprocité quadratique. Définition Il ne dépend donc que de la classe de a modulo p. Le cas particulier p = 2 est inclus dans cette définition mais sans intérêt : \left(\frac a2\right) vaut 0 si a est pair et 1 sinon. Propriétés du symbole de Legendre Critère d'Euler Critère d'Euler Si p est un nombre premier différent de 2 alors, pour tout entier a : a^{(p-1)/2}\equiv\left(\frac ap\right)~\pmod p. Multiplicativité L'application a\mapsto\left(\frac ap\right) est complètement multiplicative (c'est une conséquence immédiate du critère d'Euler). Lemme de Gauss Lemme de Gauss (théorie des nom
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