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Concept
Antiprisme
Résumé
Un antiprisme à n faces est un polyèdre composé de deux copies d'un certain polygone particulier à n côtés, connecté par une bande de triangles alternés.
Les antiprismes sont une sous-classe des prismatoïdes.
Les antiprismes sont similaires aux prismes excepté le fait que les bases sont tournées relativement l'une à l'autre, et que les faces des côtés sont des triangles, plutôt que des quadrilatères : les sommets sont symétriquement alternés.
Dans le cas d'une base régulière à n côtés, on considère généralement le cas où sa copie est tournée d'un angle de 180°/n. La régularité supplémentaire est obtenue par le fait que la droite reliant les centres des bases planes est perpendiculaires à ces bases, ce qui en fait un antiprisme droit.
Un antiprisme uniforme possède, en dehors des faces des bases, 2n triangles équilatéraux. Ils forment une série infinie de polyèdres de sommet uniforme, comme le font les prismes uniformes. Pour n=2, nous avons comme cas dégénéré le tétraèdre régulier.
Les coordonnées cartésiennes pour les sommets d'un antiprisme droit avec des bases n-gonales et des triangles isocèles sont
avec k compris entre 0 et 2n-1; si les triangles sont équilatéraux,
Le groupe de symétrie d'un antiprisme droit à n côtés avec une base régulière et des faces en forme de triangles isocèles est Dnd d'ordre 4n, excepté dans le cas d'un tétraèdre, qui possède le groupe de symétrie plus grand Td d'ordre 24, qui a trois versions de D2d pour sous-groupes, et l'octaèdre, qui a le groupe symétrie plus grand Od d'ordre 48, qui a quatre versions de D3d pour sous-groupes.
Le groupe de symétrie contient une inversion si et seulement si n est impair.
Le groupe de rotation est Dn d'ordre 2n, excepté dans le cas du tétraèdre, qui a un groupe de rotation plus grand T d'ordre 12, qui a trois versions de D2 comme sous-groupes, et l'octaèdre, qui a le groupe de rotation plus grand O d'ordre 24, qui a quatre versions de D3 comme sous-groupes.
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Publications associées (8)
Concepts associés (30)
Polyèdre uniforme
Un polyèdre uniforme est un polyèdre dont les faces sont des polygones réguliers et qui est isogonal, c'est-à-dire que pour tout couple de sommets, il existe une isométrie qui applique un sommet sur l'autre. Il en découle que tous les sommets sont congruents et que le polyèdre possède un haut degré de symétrie par réflexion et rotation. La notion de polyèdre uniforme est généralisée, pour un nombre de dimensions quelconque, par celle de . Les polyèdres uniformes peuvent être réguliers, quasi réguliers ou semi-réguliers.
Polyèdre
Un polyèdre est une forme géométrique à trois dimensions (un solide géométrique) ayant des faces planes polygonales qui se rencontrent selon des segments de droite qu'on appelle arêtes. Le mot polyèdre, signifiant à plusieurs faces, provient des racines grecques πολύς (polys), « beaucoup » et ἕδρα (hedra), « base », « siège » ou « face ». Un polyèdre est un solide dont toutes les faces sont des polygones. Les côtés de ces polygones sont appelés arêtes. Les extrémités des arêtes sont des points appelés sommets.
Solide de Platon
En géométrie euclidienne, un solide de Platon est l’un des cinq polyèdres à la fois réguliers et convexes. En référence au nombre de faces (4, 6, 8, 12 et 20) qui les composent, ils sont nommés couramment tétraèdre (régulier), hexaèdre (régulier) ou cube, octaèdre (régulier), dodécaèdre (régulier) et icosaèdre (régulier), les adjectifs « régulier » et « convexe » étant souvent implicites ou omis quand le contexte le permet. Depuis les mathématiques grecques, les solides de Platon furent un sujet d’étude des géomètres en raison de leur esthétique et de leurs symétries.