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Concept
Représentation fidèle
Résumé
En mathématiques, en particulier en théorie des représentations, une représentation fidèle ρ d'un groupe G sur un espace vectoriel V est une représentation linéaire dans laquelle différents éléments g de G sont représentés par des applications linéaires distinctes . En langage plus abstrait, cela signifie que le morphisme de groupe est injectif (et éventuellement bijectif).
Alors que les représentations de G sur un corps K peuvent de facto être identifiés aux modules sur l'algèbre de groupe du groupe G, une représentation fidèle de G n'est pas nécessairement un module fidèle pour le groupe algèbre. Si chaque -module fidèle est une représentation fidèle de G, la réciproque n'est pas vraie. Considérons par exemple la représentation naturelle du groupe symétrique de dimension n par des matrices de permutation, qui est clairement fidèle. En revanche, l'algèbre de groupe est de dimension , qui est l'ordre du groupe, tandis que l'espace des matrices est de dimension . Dès que n vaut au moins 4, la comparaison des dimensions () montre que l'application n'est pas injective ; autrement dit, le module sur l'algèbre de groupe n'est pas fidèle.
Une représentation V d'un groupe fini G sur un corps algébriquement clos K de caractéristique zéro est fidèle (en tant que représentation) si et seulement si toute représentation irréductible de G apparaît comme une sous-représentation de la n-ième puissance symétrique pour n assez grand. Par ailleurs, V est fidèle (toujours en tant que représentation) si et seulement si toute représentation irréductible de G apparaît comme une sous-représentation de la n-ième puissance tensorielle
pour n assez grand.
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