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Concept
Transposition (logique)
Résumé
En logique des propositions, une transposition est une règle de remplacement valide qui permet d'échanger l'antécédent avec le conséquent d'une implication matérielle dans une preuve logique s'il sont tous les deux négatifs. C'est l'inférence de la vérité de « A implique B » à la vérité de « non-B implique non-A », et inversement. Il est très étroitement liée à la règle d'inférence modus tollens. La règle est la suivante :
où « » est un symbole métalogique représentant "peut être remplacé dans une démonstration avec."
La règle de transposition peut être exprimée en notation séquent :
où est un symbole métalogique signifiant que est une déduction logique de dans un système logique;
ou comme une règle d'inférence:
où la règle est que partout où une instance de « » apparaît sur une ligne d'une preuve, il peut être remplacé par « » ;
ou comme la déclaration d'une tautologie de vérité fonctionnelle ou d'un théorème de la logique propositionnelle. Le principe a été énoncé comme un théorème de la logique propositionnelle par Russell et Whitehead dans les Principia Mathematica :
où et sont des propositions exprimées dans un système formel.
Dans la proposition inférée, le conséquent est contradictoire de l'antécédent dans la proposition initiale, et l'antécédent de la proposition inférée est contradictoire de la conséquence de la proposition originale. Le symbole de l'implication matérielle signifie la forme "si-alors", par exemple "Si P alors Q".
La déclaration biconditionelle de la règle de transposition (↔) se réfère à la relation entre des propositions hypothétiques (→), avec chaque proposition incluant un antécédent et un conséquent. Signifiant que, pour transposer ou convertir (P → Q) en (Q → P) exige que l'autre proposition, (~Q → ~P), soit transposée ou converti en (~P → ~Q).
La vérité de la règle de transposition dépend des rapports de condition suffisante et de condition nécessaire en logique.
Dans la proposition "Si P alors Q", l'apparition de 'P' est une raison suffisante pour l'apparition de 'Q'.
Source officielle
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