Concept
Homologie de Floer
Concepts associés (16)
Polynôme d'Alexander
En mathématiques, et plus précisément en théorie des nœuds, le polynôme d'Alexander est un invariant de nœuds qui associe un polynôme à coefficients entiers à chaque type de nœud. C'est le premier découvert ; il l'a été par James Waddell Alexander II, en 1923. En 1969, John Conway en montra une version, appelée à présent le polynôme d'Alexander-Conway, pouvant être calculé à l'aide d'une « » (skein relation), mais l'importance n'en fut pas comprise avant la découverte du polynôme de Jones en 1984.
Catégorification
En mathématiques, la catégorification est le processus qui consiste à remplacer des théorèmes de la théorie des ensembles par des analogues de la théorie des catégories. La catégorification, lorsqu'elle est effectuée avec succès, remplace les ensembles par des catégories, les fonctions par des foncteurs et les équations par des isomorphismes naturels de foncteurs qui possèdent des propriétés supplémentaires. Il faut noter que le but est d'étudier l'objet qui a été « catégorifié » grâce aux structures supplémentaires et aux méthodes abstraites auxquelles on accède par cette construction.
Andreas Floer
Andreas Floer [fløːɐ] (1956-1991) est un mathématicien allemand qui a contribué aux domaines de la géométrie, de la topologie et de la physique mathématique. Il formula l'homologie de Floer, important outil dans ces domaines. Il est étudiant à l'université de Bochum et reçoit le diplôme de mathématiques (Diplom-Mathematiker) en 1982. Il intègre par la suite l'université de Californie à Berkeley, où il commence un travail de doctorat sur les et les 3-variétés sous la direction de Clifford Taubes.
Courbe pseudoholomorphe
En topologie et en géométrie, une courbe pseudoholomorphe est une application d'une surface de Riemann, éventuellement à bord, dans une variété presque complexe satisfaisant les équations de Cauchy-Riemann. La régularité est imposée par la régularité de la structure presque complexe utilisée. Introduites en 1985 par Mikhaïl Gromov, elles jouent un rôle central en géométrie symplectique, et interviennent en particulier dans la définition de l'homologie de Floer.
Khovanov homology
In mathematics, Khovanov homology is an oriented link invariant that arises as the cohomology of a cochain complex. It may be regarded as a categorification of the Jones polynomial. It was developed in the late 1990s by Mikhail Khovanov, then at the University of California, Davis, now at Columbia University. To any link diagram D representing a link L, we assign the Khovanov bracket [D], a cochain complex of graded vector spaces. This is the analogue of the Kauffman bracket in the construction of the Jones polynomial.
Géométrie de contact
La géométrie de contact est la partie de la géométrie différentielle qui étudie les formes et structures de contact. Elle entretient d'étroits liens avec la géométrie symplectique, la géométrie complexe, la théorie des feuilletages de codimension 1 et les systèmes dynamiques. La géométrie de contact classique est née de l'étude de la thermodynamique et de l'optique géométrique. Une structure de contact sur une variété est un champ d'hyperplans c'est-à-dire la donnée, en tout point de la variété, d'un hyperplan dans l'espace tangent.
Gauge theory (mathematics)
In mathematics, and especially differential geometry and mathematical physics, gauge theory is the general study of connections on vector bundles, principal bundles, and fibre bundles. Gauge theory in mathematics should not be confused with the closely related concept of a gauge theory in physics, which is a field theory which admits gauge symmetry. In mathematics theory means a mathematical theory, encapsulating the general study of a collection of concepts or phenomena, whereas in the physical sense a gauge theory is a mathematical model of some natural phenomenon.
Topological quantum field theory
In gauge theory and mathematical physics, a topological quantum field theory (or topological field theory or TQFT) is a quantum field theory which computes topological invariants. Although TQFTs were invented by physicists, they are also of mathematical interest, being related to, among other things, knot theory and the theory of four-manifolds in algebraic topology, and to the theory of moduli spaces in algebraic geometry. Donaldson, Jones, Witten, and Kontsevich have all won Fields Medals for mathematical work related to topological field theory.
3-variété
En mathématiques, une 3-variété est une variété de dimension 3, au sens des variétés topologiques, ou différentielles (en dimension 3, ces catégories sont équivalentes). Certains phénomènes sont liés spécifiquement à la dimension 3, si bien qu'en cette dimension, des techniques particulières prévalent, qui ne se généralisent pas aux dimensions supérieures.
Symplectomorphisme
En géométrie symplectique, un symplectomorphisme est un isomorphisme de variétés symplectiques. Soient et deux variétés symplectiques. Une application différentiable est appelée morphisme symplectique lorsque, pour tout , la différentielle est une isométrie linéaire entre espaces vectoriels symplectiques. Autrement dit : Si , comme est non dégénérée, les différentielles sont des isomorphismes linéaires, et de fait, par le théorème d'inversion locale, est un difféomorphisme local.