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Concept
Géométrie de contact
Résumé
La géométrie de contact est la partie de la géométrie différentielle qui étudie les formes et structures de contact. Elle entretient d'étroits liens avec la géométrie symplectique, la géométrie complexe, la théorie des feuilletages de codimension 1 et les systèmes dynamiques. La géométrie de contact classique est née de l'étude de la thermodynamique et de l'optique géométrique. Une structure de contact sur une variété est un champ d'hyperplans c'est-à-dire la donnée, en tout point de la variété, d'un hyperplan dans l'espace tangent. L'illustration montre un exemple de structure de contact sur R3
qui est le modèle local de toutes les structures de contact en dimension trois.
Le langage de la géométrie de contact trouve une interprétation naturelle dans la notion de contour apparent.
En géométrie différentielle, une forme de contact est une 1-forme différentielle sur une variété différentielle de dimension impaire , telle que soit une forme volume. De manière équivalente, on demande que soit non dégénérée sur la distribution d'hyperplans . Une forme de contact définit deux objets distincts : une structure de contact et un champ de Reeb.
Selon un théorème de Frobenius, un champ d'hyperplans est localement intégrable lorsqu'il peut localement être décrit comme le noyau d'une 1-forme différentielle fermée. À l'opposé, une structure de contact est un champ d'hyperplans qui peut être défini localement comme le noyau d'une forme de contact : ce champ est maximalement non-intégrable. Plus précisément, on peut montrer que les sous-variétés intégrales d'un tel champ d'hyperplans sont de dimension au plus . Lorsque cette dimension maximale est atteinte, on parle de sous-variétés legendriennes. En dimension trois, les sous-variétés legendriennes connexes et compactes sont des nœuds appelés nœuds legendriens ; il s'agit du cas aujourd'hui le plus étudié.
Pour une forme de contact , il existe un unique champ de vecteurs , appelé champ de Reeb, vérifiant : et . À ce champ de Reeb est associé un flot, le flot de Reeb.
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