En algorithmique et en analyse numérique, l'extraction de racine carrée est le processus qui consiste, étant donné un nombre, à en calculer la racine carrée. Il existe de nombreuses méthodes pour effectuer ce calcul. C'est un cas particulier de la recherche de calcul de la racine n-ième.
La racine carrée d'un nombre pouvant être un nombre irrationnel, l'extraction de racine carrée est en général approchée.
L'extraction de la racine carrée d'un nombre a est identique à la résolution de l'équation x - a = 0. Les méthodes générales de résolution d'équations polynomiales, et plus généralement les algorithmes de recherche d'un zéro d'une fonction s'appliquent donc. On utilise les mêmes outils pour mesurer les performances des méthodes.
Lorsque l'on ne donne pas de précision supplémentaire, l'extraction de racine carrée se fait dans l'ensemble des nombres réels. On peut cependant s'intéresser à d'autres ensembles de nombres tels que les nombres complexes ou encore les anneaux tels que Z/nZ.
La méthode de Héron est une méthode historique développée par les Babyloniens. En termes plus modernes, c'est un cas particulier de la méthode de Newton.
Pour déterminer la racine carrée du nombre (positif) a, il convient dès lors de considérer la suite définie par récurrence de la façon suivante :
de premier terme x > 0 choisi si possible « assez proche » de , en général la partie entière de .
La vitesse de convergence des approximations successives vers la valeur exacte est quadratique.
On trouve dans un manuscrit indien, dit manuscrit de Bakshali, datant peut-être du , une correction différente de la méthode de Héron, la nouvelle valeur approchée étant . Elle est équivalente à appliquer deux fois de suite la méthode de Héron. L'itération de cette dernière méthode donne une vitesse de convergence bi-quadratique :
Considérons les suites u et v définies par :
est la moyenne harmonique de u et v,
est la moyenne arithmétique de u et v.
Les suites u et v sont adjacentes, et convergent vers la même limite : . L'erreur est majorée par la différence v - u.
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A division algorithm is an algorithm which, given two integers N and D (respectively the numerator and the denominator), computes their quotient and/or remainder, the result of Euclidean division. Some are applied by hand, while others are employed by digital circuit designs and software. Division algorithms fall into two main categories: slow division and fast division. Slow division algorithms produce one digit of the final quotient per iteration. Examples of slow division include restoring, non-performing restoring, non-restoring, and SRT division.
En mathématiques, une fraction continue généralisée est une expression de la forme : comportant un nombre fini ou infini d'étages. C'est donc une généralisation des fractions continues simples puisque dans ces dernières, tous les a sont égaux à 1. Une fraction continue généralisée est une généralisation des fractions continues où les numérateurs et dénominateurs partiels peuvent être des complexes quelconques : où an (n > 0) sont les numérateurs partiels et les bn les dénominateurs partiels.
En mathématiques, la racine carrée de cinq, notée ou 5, est un nombre réel remarquable ; c'est l'unique réel positif dont le carré est égal à 5. Il vaut approximativement 2,236. C'est un irrationnel quadratique et un entier quadratique (entier algébrique de degré 2). le nombre 5 ayant deux racines carrées réelles, devrait se prononcer « racine carrée positive de cinq », mais il se prononce habituellement « racine carrée de cinq », voire « racine de cinq » pour simplifier. Se prononçait aussi « radical de cinq ».
Explore l'analyse de l'équilibre dominant dans la résolution du polynôme quintique, en mettant l'accent sur la non-dimensionnisation et les expansions de série.
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Ernst & Sohn2024
, ,
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The magnetic, noncollinear parametrization of Dudarev's DFT + U method is generalized to fully relativistic ultrasoft pseudopotentials. We present the definition of the DFT + U total energy functional and the calculation of forces and stresses in the case ...