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Concept
Racine carrée de cinq
Résumé
En mathématiques, la racine carrée de cinq, notée ou 5, est un nombre réel remarquable ; c'est l'unique réel positif dont le carré est égal à 5. Il vaut approximativement 2,236.
C'est un irrationnel quadratique et un entier quadratique (entier algébrique de degré 2).
le nombre 5 ayant deux racines carrées réelles, devrait se prononcer « racine carrée positive de cinq », mais il se prononce habituellement « racine carrée de cinq », voire « racine de cinq » pour simplifier. Se prononçait aussi « radical de cinq ».
se note également 5 (notation Unicode : 51⁄2).
s'écrit en général sqrt(5) dans les langages informatiques.
vaut approximativement
2,236 067 977 4 dans le système décimal (),
10,00111100 dans le système binaire () et
2,3C6EF372FE94F82C dans le système hexadécimal.
Le développement en fraction continue simple de est [2, ] ().
Comme pour tout irrationnel quadratique (solution d'une équation de degré 2 à coefficients entiers), ce développement est périodique. La période est de longueur 1.
Les réduites successives sont :Elles forment la suite définie par .
On a : , où est l'entier le plus proche de .
Les numérateurs forment la et les dénominateurs la .
Extraction de racine carrée
La méthode de Héron permet de calculer la valeur approchée d'une racine carrée avec une grande précision et en peu de calculs ; elle est applicable à la racine carrée de 5.
Prenons la partie entière de , x = 2.
La méthode de Héron consiste à calculer les termes successifs d'une suite approchant par la formule de récurrence :
avec ici, A = 5. Par itérations successives, on obtient :
On a .
Les numérateurs forment la , et les dénominateurs la .
est une sous-suite de : , décroissant rapidement vers (convergence quadratique). Une suite croissante associée est , d'où l'encadrement : . Pour , cet encadrement permet déjà d'obtenir .
La formule suivante, démontrée initialement par Paul Erdős, relie aux inverses des termes de la suite de Fibonacci dont l'indice est une puissance de 2:
Cela donne la formule : qui converge très vite, puisque les 6 premiers termes donnent 13 décimales correctes et le 7 donne les 13 suivantes.
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