Racine carrée de cinq

En mathématiques, la racine carrée de cinq, notée ou 5, est un nombre réel remarquable ; c'est l'unique réel positif dont le carré est égal à 5. Il vaut approximativement 2,236. C'est un irrationnel quadratique et un entier quadratique (entier algébrique de degré 2). le nombre 5 ayant deux racines carrées réelles, devrait se prononcer « racine carrée positive de cinq », mais il se prononce habituellement « racine carrée de cinq », voire « racine de cinq » pour simplifier. Se prononçait aussi « radical de cinq ». se note également 5 (notation Unicode : 51⁄2). s'écrit en général sqrt(5) dans les langages informatiques. vaut approximativement 2,236 067 977 4 dans le système décimal (), 10,00111100 dans le système binaire () et 2,3C6EF372FE94F82C dans le système hexadécimal. Le développement en fraction continue simple de est [2, ] (). Comme pour tout irrationnel quadratique (solution d'une équation de degré 2 à coefficients entiers), ce développement est périodique. La période est de longueur 1. Les réduites successives sont :Elles forment la suite définie par . On a : , où est l'entier le plus proche de . Les numérateurs forment la et les dénominateurs la . Extraction de racine carrée La méthode de Héron permet de calculer la valeur approchée d'une racine carrée avec une grande précision et en peu de calculs ; elle est applicable à la racine carrée de 5. Prenons la partie entière de , x = 2. La méthode de Héron consiste à calculer les termes successifs d'une suite approchant par la formule de récurrence : avec ici, A = 5. Par itérations successives, on obtient : On a . Les numérateurs forment la , et les dénominateurs la . est une sous-suite de : , décroissant rapidement vers (convergence quadratique). Une suite croissante associée est , d'où l'encadrement : . Pour , cet encadrement permet déjà d'obtenir . La formule suivante, démontrée initialement par Paul Erdős, relie aux inverses des termes de la suite de Fibonacci dont l'indice est une puissance de 2: Cela donne la formule : qui converge très vite, puisque les 6 premiers termes donnent 13 décimales correctes et le 7 donne les 13 suivantes.