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Concept
Intégrale de Fresnel
Résumé
L'intégrale de Fresnel est une intégrale impropre introduite par le physicien français Augustin Fresnel.
Ces égalités sont équivalentes à l'expression de l'intégrale de Fresnel complexe (par identification des parties réelle et imaginaire dans un sens et par combinaison linéaire dans l'autre) :
Le calcul explicite montrera que l'intégrale de Fresnel converge, mais on peut s'en assurer plus simplement :
par le changement de variable s = t, la convergence de équivaut à celle de ;
d'après la règle d'Abel, pour tout λ > 0, l'intégrale converge.
Les fonctions de Fresnel sont des fonctions spéciales, définies par les intégrales et développement en série entière associés :
Ces fonctions sont parfois définies avec l'argument π/2t dans les intégrales définissant S(x) et C(x). Les intégrales sont alors multipliées par et les intégrandes sont divisés par x.
La formule de Fresnel vue précédemment est donc la limite en +∞ des deux fonctions S et C non normalisées.
Parmi les diverses méthodes, en voici deux : la première utilise la technique de Feynman, la seconde repose sur les intégrales de contour.
On considère pour tout réel t la fonction de R+ dans C définie par
Cette fonction est intégrable, car continue sur R+ et majorée en module par , qui est intégrable en +∞.
Il est donc possible de poser f, la fonction définie pour tout t par l'intégrale à paramètre suivante :
On montre que f est continue sur R et nulle à l'infini, et qu'elle est de classe C sur R+* avec
En simplifiant l'expression de f' et en l'intégrant de 0 à +∞, on en déduit que
On se sert alors de l'expression sous la forme et d'une intégrale classique :
pour en déduire que
Il est aussi possible d'intégrer sur le bord du secteur circulaire de sommets puis de faire tendre vers l'infini.
thumb|Contour utilisé pour le calcul.
Intéressons nous d'abord à I.
après un changement de variable u = 2t. Or, sur , la concavité de cos donne
donc
donc
Le théorème des gendarmes donne ainsi . Grâce au résultat de l'intégrale de Gauss, . De plus, .
Source officielle
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