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Concept
Fonction gamma incomplète
Résumé
En analyse mathématique, il existe plusieurs définitions de fonctions gamma incomplètes : pour un paramètre complexe a de partie réelle strictement positive,
\begin{align}
\gamma(a,x)&=\int_0^x t^{a-1}{\rm e}^{-t}{\rm d}t,\
\Gamma(a,x)&=\int_x^\infty t^{a-1}{\rm e}^{-t}{\rm d}t=\Gamma(a)-\gamma(a,x),\
P(a,x)&=\frac{\gamma(a,x)}{\Gamma(a)}=\frac1{\Gamma(a)}\int_0^x{\rm e}^{-t}t^{a-1}{\rm d}t,\
\gamma^*(a,x)&=x^{-a} P(a,x)=\frac{x^{-a}}{\Gamma(a)}\gamma(a,x).
\end{align}
Dérivées
La dérivée de la fonction gamma incomplète Γ(a, x) par rapport à x est l'opposée de l'intégrande de sa définition intégrale :
La dérivée par rapport au paramètre a est donnée par
et la dérivée seconde par
où la fonction T(m, a, x) est un cas particulier de la
Ce cas particulier possède des propriétés internes de fermeture qui lui sont propres parce qu'il permet d'exprimer toutes les dérivées successives. En général,
où A désigne la factorielle décroissante :
Tout
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