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Concept
Ultrafiltre
Résumé
vignette|Le diagramme de Hasse montre l'ensemble de tous les sous-ensembles de {1,2,3,4}, partiellement ordonnés par inclusion d'ensemble (⊆). L'ensemble supérieur ↑{1,4} est surligné en vert foncé, c'est un filtre. Cependant, ce n'est pas un ultrafiltre, car il peut toujours être étendu au filtre correctement plus grand ↑{1}, représenté en vert clair. Ce dernier ne peut pas être étendu à son tour à un filtre non trivialement plus grand, il s'agit donc d'un ultrafiltre.
En mathématiques, et plus précisément en théorie des ensembles, un ultrafiltre sur un
ensemble X est une collection de sous-ensembles de X qui est un filtre, et qui n'est pas contenue dans un filtre plus grand. On peut considérer un ultrafiltre comme étant une mesure (finiment additive), et alors tout sous-ensemble de X est, pour cette mesure, soit négligeable (de mesure 0), soit valant « presque tout » X (de mesure 1). Cette notion se généralise aux algèbres de Boole et aux ordres partiels, et a de nombreuses applications en théorie des modèles et en topologie.
Étant donné un ensemble X, un ultrafiltre sur X est un ensemble U formé de sous-ensembles de X tel que :
l'ensemble vide n'est pas un élément de U ;
toute partie de X incluant un élément de U est aussi un élément de U ;
L'intersection de deux éléments de U est également dans U ;
si A est un sous-ensemble de X, alors A ou son complémentaire X\A est un élément de U.
Remarques :
les axiomes 1 et 3 impliquent que A et X\A ne peuvent être tous les deux éléments de U ; le ou de l'axiome 4 est exclusif ;
tout ultrafiltre sur X est un filtre sur X, c'est-à-dire qu'il vérifie les axiomes 1, 2 et 3 et qu'il est non vide (d'après l'axiome 4).
D'autres caractérisations des ultrafiltres sont données par le théorème suivant :
Une autre façon d'envisager les ultrafiltres sur X est de définir une fonction m sur l'ensemble des parties de X en posant m(A) = 1 si A est un élément de U et m(A) = 0 sinon. Alors m est une mesure finiment additive sur X, et (par rapport à m), toute propriété des éléments de X est soit vraie presque partout, soit fausse presque partout.
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