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vignette|Le diagramme de Hasse montre l'ensemble de tous les sous-ensembles de {1,2,3,4}, partiellement ordonnés par inclusion d'ensemble (⊆). L'ensemble supérieur ↑{1,4} est surligné en vert foncé, c'est un filtre. Cependant, ce n'est pas un ultrafiltre, car il peut toujours être étendu au filtre correctement plus grand ↑{1}, représenté en vert clair. Ce dernier ne peut pas être étendu à son tour à un filtre non trivialement plus grand, il s'agit donc d'un ultrafiltre. En mathématiques, et plus précisément en théorie des ensembles, un ultrafiltre sur un ensemble X est une collection de sous-ensembles de X qui est un filtre, et qui n'est pas contenue dans un filtre plus grand. On peut considérer un ultrafiltre comme étant une mesure (finiment additive), et alors tout sous-ensemble de X est, pour cette mesure, soit négligeable (de mesure 0), soit valant « presque tout » X (de mesure 1). Cette notion se généralise aux algèbres de Boole et aux ordres partiels, et a de nombreuses applications en théorie des modèles et en topologie. Étant donné un ensemble X, un ultrafiltre sur X est un ensemble U formé de sous-ensembles de X tel que : l'ensemble vide n'est pas un élément de U ; toute partie de X incluant un élément de U est aussi un élément de U ; L'intersection de deux éléments de U est également dans U ; si A est un sous-ensemble de X, alors A ou son complémentaire X\A est un élément de U. Remarques : les axiomes 1 et 3 impliquent que A et X\A ne peuvent être tous les deux éléments de U ; le ou de l'axiome 4 est exclusif ; tout ultrafiltre sur X est un filtre sur X, c'est-à-dire qu'il vérifie les axiomes 1, 2 et 3 et qu'il est non vide (d'après l'axiome 4). D'autres caractérisations des ultrafiltres sont données par le théorème suivant : Une autre façon d'envisager les ultrafiltres sur X est de définir une fonction m sur l'ensemble des parties de X en posant m(A) = 1 si A est un élément de U et m(A) = 0 sinon. Alors m est une mesure finiment additive sur X, et (par rapport à m), toute propriété des éléments de X est soit vraie presque partout, soit fausse presque partout.

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Ultrafilter on a set

In the mathematical field of set theory, an ultrafilter on a set is a maximal filter on the set In other words, it is a collection of subsets of that satisfies the definition of a filter on and that is maximal with respect to inclusion, in the sense that there does not exist a strictly larger collection of subsets of that is also a filter. (In the above, by definition a filter on a set does not contain the empty set.) Equivalently, an ultrafilter on the set can also be characterized as a filter on with the property that for every subset of either or its complement belongs to the ultrafilter.

Théorème de compacité

vignette|420x420px|Si toute partie finie d'une théorie est satisfaisable (schématisée à gauche), alors la théorie est satisfaisable (schématisée à droite). En logique mathématique, un théorème de compacité énonce que si toute partie finie d'une théorie est satisfaisable alors la théorie elle-même est satisfaisable. Il existe des logiques où il y a un théorème de compacité comme le calcul propositionnel ou la logique du premier ordre (on parle de logiques compactes). Il existe aussi des logiques sans théorème de compacité.

Ultraproduit

En mathématiques, un ultraproduit est une construction basée sur un ultrafiltre utilisée principalement en algèbre abstraite et en théorie des modèles (une branche de la logique mathématique) ; elle permet par exemple d'obtenir des extensions des réels, les nombres hyperréels, ayant les mêmes propriétés élémentaires que ceux-ci. La méthode générale de construction d'ultraproduits part d'un ensemble d'indices I, d'une structure Mi pour chaque élément i de I (toutes ayant la même signature), et d'un ultrafiltre U sur I.

Fourier non-uniqueness sets from totally real number fields

Martin Peter Stoller

Let K be a totally real number field of degree n >= 2. The inverse different of K gives rise to a lattice in Rn. We prove that the space of Schwartz Fourier eigenfunctions on R-n which vanish on the "component-wise square root" of this lattice, is infinite ...

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Extending Boolean Methods for Scalable Logic Synthesis

Giovanni De Micheli, Mathias Soeken, Pierre-Emmanuel Julien Marc Gaillardon, Luca Gaetano Amarù, Eleonora Testa

In recent years, Boolean methods in logic synthesis have been drawing the attention of EDA researchers due to the continuous push to advance quality of results. Boolean methods require high computational cost, as they rely on complete functional properties ...

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Improvements to Boolean resynthesis

Giovanni De Micheli, Mathias Soeken, Luca Gaetano Amarù

In electronic design automation Boolean resynthesis techniques are increasingly used to improve the quality of results where algebraic methods hit local minima Boolean methods rely on complete functional properties of a logic circuit, preferably including ...

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