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Concept
Intégrale multiple
Résumé
vignette|Fig. 2. Intégrale double comme volume du solide situé entre un domaine du plan xy et la surface image de ce domaine par une fonction.
En analyse mathématique, l'intégrale multiple est une forme d'intégrale qui s'applique aux fonctions de plusieurs variables réelles. Les deux principaux outils de calcul sont le changement de variables et le théorème de Fubini. Ce dernier permet de ramener de proche en proche un calcul d'intégrale multiple à des calculs d'intégrales simples, et d'interpréter le « volume » d'un domaine « simple » de dimension n (ou son hypervolume si n > 3) comme l'intégrale d'une fonction de n – 1 variables (Fig. 2), de même que l'intégrale définie d'une fonction continue positive d'une variable est égale à « l'aire sous la courbe » associée (Fig. 1).
Soit f : D → R une fonction bornée sur une partie bornée D de R. Pour définir (au sens de Riemann) l'intégrabilité de f et, le cas échéant, la valeur de son intégrale, notée
ou plus simplement , on se ramène d'abord au cas où D est un pavé fermé P = I × ... × I, en choisissant un tel P qui contient D et en prolongeant f par 0 (on démontre après coup que les définitions suivantes sont indépendantes du choix de P). Les définitions sont ensuite identiques, mutatis mutandis, à celles dans le cas n = 1 : à l'aide des notions de volume et subdivision de P et de pas, marquage et raffinement d'une telle subdivision, on définit l'intégrabilité et l'intégrale soit en termes d'intégrales inférieure et supérieure, soit en termes de sommes de Darboux inférieure et supérieure, soit en termes de sommes de Riemann, et l'on montre que ces trois définitions sont équivalentes. La première, par exemple, s'écrit :
(c'est-à-dire que f est intégrable si et seulement si ses intégrales inférieure, , et supérieure, , sont égales, et l'intégrale de f est alors par définition cette valeur commune), et la troisième s'écrit :
où chaque (P, ξ) est une subdivision marquée de P de pas δ.
Dans les applications pratiques, comme l'ingénierie ou la physique appliquée, on rencontre quasi exclusivement des intégrales simples, doubles ou triples.
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