Concept
En mathématiques, dans le domaine de la théorie des groupes, un sous-groupe H d'un groupe G est un sous-groupe sous-normal de G s'il existe une chaîne finie de sous-groupes du groupe, commençant en H et finissant en G, et dont chaque élément est un sous-groupe normal du suivant. Formellement, est -sous-normal dans s'il existe des sous-groupes de tels que est normal dans pour chaque . Un sous-groupe sous-normal est un sous-groupe qui est -sous-normal pour un entier positif . Le concept de sous-groupe sous-normal a été introduit sous le nom 'nachinvariante Untergruppe'' par Helmut Wielandt dans sa thèse d'habilitation en 1939. Wielandt a notamment prouvé que dans un groupe fini, le sous-groupe engendré par deux sous-groupes sous-normaux est lui-même sous-normal, donc que les sous-groupes sous-normaux forment un treillis. Le sous-groupe du groupe symétrique est un sous-groupe normal du groupe de Klein qui lui-même est un sous-groupe normal de . Ainsi, est un sous-groupe sous-normal de, sans être un sous-groupe normal puisque n'est pas dans . Quelques exemples et résultats sur les sous-groupes sous-normaux : Un sous-groupe 1-sous-normal est un sous-groupe normal propre, et réciproquement. Un groupe de type fini est un nilpotent si et seulement si tous ses sous-groupes sont sous-normaux. Un sous-groupe et plus généralement un sous-groupe qui commute avec tous ses sous-groupes conjugués d'un groupe fini est sous-normal. Un qui est aussi sous-normal est un sous-groupe normal. En particulier, un sous-groupe de Sylow est sous-normal si et seulement s'il est normal. Un sous-groupe 2-sous-normal est un sous-groupe qui commute avec tous ses sous-groupes conjugués. La relation de sous-normalité est transitive : en d'autres termes, un sous-groupe sous-normal d'un sous-groupe sous-normal est sous-normal. La relation de sous-normalité peut donc être définie comme la fermeture transitive de la relation de normalité.