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Concept
Sous-groupe normal
Résumé
En théorie des groupes, un sous-groupe normal (également appelé sous-groupe distingué ou sous-groupe invariantLien web|langue=fr|titre=Introduction à la théorie des groupes et de leurs représentations|auteur=Jean-Bernard Zuber|url=) H d'un groupe G est un sous-groupe globalement stable par l'action de G sur lui-même par conjugaison. Les sous-groupes normaux interviennent naturellement dans la définition du quotient d'un groupe. Les sous-groupes normaux de G sont exactement les noyaux des morphismes définis sur G.
Les sous-groupes normaux connaissent des applications en géométrie dans l'étude des actions de groupes, en topologie algébrique dans la classification des revêtements, en théorie de Galois dans la correspondance de Galois.
On dit qu'un sous-groupe d'un groupe est normal (ou distingué ou invariant) dans s'il est stable par conjugaison, c'est-à-dire si :
On note alors .
Une façon équivalente de définir un sous-groupe normal est de dire que les classes à droite et à gauche de dans coïncident, c'est-à-dire :
Si X et Y sont deux parties d'un groupe G, on désignera par XY l'ensemble des éléments de G de la forme xy, avec x dans X et y dans Y.
Soit H un sous-groupe normal d'un groupe G. Il résulte de la relation
que si X est une partie de G, alors XH = HX. (Passer aux réunions, x parcourant X.) C'est le cas en particulier si X est un sous-groupe K (non forcément normal) de G. On prouve facilement que si A et B sont des sous-groupes d'un groupe G, si AB = BA, alors AB est un sous-groupe de G et est évidemment le sous-groupe de G engendré par A et B. Donc :
Si H et K sont deux sous-groupes d'un groupe G, si un au moins de ces deux sous-groupes est normal dans G, alors le sous-groupe de G engendré par H et K est l'ensemble HK = KH.
groupe quotient
Les sous-groupes normaux sont importants dans l'étude des groupes quotients à cause du fait suivant :
Soient G un groupe et H un sous-groupe de G ; pour que la relation d'équivalence dans G (en x et y) xH = yH soit compatible avec la loi de G (autrement dit, pour que l'équivalence de x et de y et l'équivalence de z et de t entraînent toujours celle de xz et de yt), il faut et il suffit que le sous-groupe H soit normal dans G.
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